Числовые ряды
1.Основные определения.
2.Свойства рядов.
3.Признаки сходимости.
4.Знакопостоянные ряды.
5.Знакопеременные ряды.
1. Основные определения
Числовым рядом
называется сумма членов бесконечной числовой
последовательности |
u1 ,u2 ,...,un ,... |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 u2 |
... un ... un |
|
|
|
n 1 |
|
При этом числа |
u1 ,u2 ,... – члены ряда, |
||
аun – общий член ряда.
n
Суммы Sn u1 u2 ... un uk ,
k 1
n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Ряд u1 u2 ... un ... un
n 1
называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм.
Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм:
|
|
lim Sn S, |
S un . |
|
n 1 |
Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы
2. Свойства рядов
1.
Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2.
Рассмотрим два ряда un |
и Cun , |
где С – постоянное число. |
|
Теорема. Если ряд un
сходится и его сумма равна S, то ряд
тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)
3.
Рассмотрим два ряда un |
и vn. |
Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд
(un vn ),
где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
3.
Теорема. |
Если ряды un |
и vn |
сходятся и |
их суммы равны соответственно S и , то ряд |
|
(un vn )
тоже сходится и его сумма равна S + .
(un vn ) un vn S
3.
•Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
•Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
•О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.