5. Знакопеременные ряды
5.1 Знакочередующиеся ряды
u1 u2 u3 u4 ... ( 1)n 1 un ...
где un 0, |
n 1,2,3,... |
Признак Лейбница
Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1.07.1646 – 14.11.1716) – немецкий математик
Если у знакочередующегося ряда
u1 u2 u3 u4 ... ( 1)n 1 un ...
абсолютные величины ui убывают
u1 u2 u3 ...
и общий член стремится к нулю
un 0,
то ряд сходится.
При этом сумма ряда удовлетворяет
неравенству: |
0 |
S u1 |
|
|
|
( 1) |
n 1 |
1 |
. |
Пример: |
|
|
n |
||
n 1 |
|
|
|
a 1 |
1 |
a |
|
|||
|
|
|||||
n |
n |
|
n 1 |
n 1, |
|
|
|
|
|
Ряд |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
сходится |
||
lim |
|
|
||||
n n |
|
|
|
|
|
|
Теорема
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u1 u2 |
|
... un |
... un |
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u1 |
|
|
|
u2 |
|
... |
|
un |
|
... |
|
un |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||
Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определения:
Ряд un
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд un .
Ряд un
называется условно сходящимся,
если он сходится, а ряд un расходится.
Пример:
a 1 |
|
1 |
a |
||
|
|||||
n |
n |
|
n 1 |
n 1, |
|
|
|
|
|||
lim 1 0
n n
1 |
гармонический ряд |
n 1 n |
( 1)n 1 1 .
n 1 n
Ряд
сходится
Ряд
сходится
условно
Ряд
расходится
Свойства абсолютно сходящихся 
рядов
1.Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него престановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).
2.Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1+S2 (или соответственно S1-S2).
Свойства абсолютно сходящихся 
рядов
3.Под произведением двух рядов
u1 u2 u3 ... |
и |
v1 v2 v3 ... |
понимают ряд вида |
|
|
(u1v1) (u1v2 u2v1) (u1v3 u2v2 u3v1) ...
(u1vn u2vn 1 ... unv1) ...
Произведение двух сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна
S1 S2
Замечание
В случае условно сходящихся рядов соответствующие свойства, вообще говоря, не имеют места.
|
|
|
Пример:S = |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Условно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
... |
|
|
сходится |
|||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
4 |
3 |
6 |
8 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6 |
10 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
... |
|
1 |
S. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
6 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сумма уменьшилась вдвое!!!!!!!