1. Необходимое условие 1) Еслисходимостиряд un
сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю.
|
|
|
|
|
ряд |
|
|
Общий член не |
|
|
|
||
|
стремится к нулю |
|
|
расходится |
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
Общий член |
|
|
ряд |
|
|
|
стремится к нулю |
|
|
сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
Гармонический ряд
1
n 1 n
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример:
Исследовать сходимость ряда |
1 |
|
2 |
|
3 |
... |
n |
|
... |
|
2 |
5 |
8 |
3n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
Найдем |
lim |
n |
lim |
|
1 |
|
1 |
0. |
|
|
|
|
1 |
3 |
|||||
n 3n 1 |
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
Необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2. Необходимое условие 1) Еслисходимостиряд un
сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
|
|
частных сумм не |
|
|
расходится |
|
|
ограничена |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Последовательность |
|
|
ряд |
|
|
частных сумм ограничена |
|
|
сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
Ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится,
т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
0,при |
четных |
; n |
|
|
|
Sn |
нечетных |
. n |
1,при |
||
|
|
|
Однако, при этом последовательность частных сумм
ограничена, т.к. |
|
Sn |
|
2 |
при любом n. |
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4. Знакопостоянные ряды
•При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами
Теорема
Для сходимости ряда un
со знакопостоянными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами
Пусть даны два ряда un |
и vn |
при un, vn 0. |
Теорема. Если un vn при любом n, то
из сходимости ряда vn |
следует сходимость ряда un , |
|
а из расходимости ряда un следует расходимость ряда |
vn. |
|
. |
|
|
Пример: ln12 ln13 ... ln1n ...
ln1n 1n
|
|
Ряд |
|
гармонический ряд |
|||
|
расходится |
||
1n |
|
|
|
|
|
||
расходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример: |
n 1 |
1 |
. |
n2n |
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2n |
2n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится |
|
1 |
|
сходится |
|
||||||
|
|
|
||||||||
2n |
|
|
||||||||
как убывающая г.п. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|