01_03 Лекции ФМП

но определенную квадратичную форму, и потому функция (24) имеет в точке M 0 (0, 1, 1) локаль-

ный минимум.

При 0 второй дифференциал (25) представляет собой знакопеременную квадратичную форму, так как, например, он положителен при dx 0 , dy 1, dz 1 и отрицателен при dx 1,

dy 0 , dz 0 . Таким образом, если 0 , то функция (24) не имеет локального экстремума в точке M 0 . ▲

Пример. Исследовать на экстремум функцию u x3 y3 3xy .

∆ Для нахождения экстремума данной функции воспользуемся следствием к рассмотренной теореме. Найдем вначале частные производные первого порядка и приравняем их нулю:

Следовательно, в точке M 2 функция имеет локальный минимум, равный umin u(M 2 ) u(1,1) 1 1 3 1. ▲

Условный экстремум и метод неопределенных множителей Лагранжа

В предыдущей теме нами рассмотрен вопрос отыскания локальных экстремумов функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями, то есть являются независимыми переменными. Вместе с тем, в различных приложениях часто встречается задача об отыскании экстремумов функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи. Экстремумы такого рода называют условными, чтобы отличить их от безусловных (или абсолютных) экстремумов, изученных ранее.

21

Приведем пример задачи о нахождении условного экстремума. Пусть требуется найти экстремумы функции u x2 y2 при условии, что переменные x и y этой функции удовлетворяют условию связи x y 1 0 . Это означает, что функция u x2 y2 рассматривается уже не на всей координатной плоскости xOy , а лишь на прямой x y 1 0 . Поэтому любое изменение x влечет за собой соответствующее изменение y , и наоборот – изменение y влечет определяемое соотношением x y 1 0 изменение x . Следовательно, исходная функция u является функцией только одной независимой переменной x (или y ).

Для решения поставленной задачи подставим в выражение функции u x2 y2 значение y , определяемое из условия связи x y 1 0 . Таким путем поставленная задача сводится к зада-

точке (0,0) и равен u 0 .

Определение. Функция u f (M ) f (x1, x2 , , xn ) имеет условный максимум (условный ми-

нимум) в точке M 0 (x10 , x20 , , xm0 ) , если существует такая окрестность точки M 0 , что для всех точек M M 0 , удовлетворяющих уравнениям связи

k (M ) k (x1 , x2 , , xn ) 0 ( k 1, m , m n ),

выполняется неравенство f (M ) f (M 0 ) (соответственно f (M ) f (M 0 ) ).

Общий принцип нахождения условного экстремума заключается в следующем. Из уравнений связи выражаются одни переменные через другие, и после их подстановки в исходную функцию приходят к задаче на обычный (безусловный) экстремум, но уже для функции n m переменных. Данный метод использован в рассмотренном примере, однако, зачастую такой подход приводит к громоздким выкладкам, поэтому чаще используют другой метод – метод неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума. Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстре-

мум функции Лагранжа

го, дополнительно потребуем непрерывности всех частных производных второго порядка функций f и i , i 1, m в окрестности точки M 0 . Как было показано, для формулировки достаточного

Находим наибольшее и наименьшее значения на стороне AB : x y 1 0 , 0 x 1. Здесь

24