Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

10 11 Числовые ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

487.33 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ТЕОРИЯ РЯДОВ

В данном разделе математического анализа понятие суммы обобщается на случай бесконечного числа слагаемых, и изучаются свойства таких сумм.

Числовые ряды. Основные понятия

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

a1 a2 ... an ... ,

(1)

где a1 , a2 ,...,an ,... – числовая последовательность. Для ряда также используется обозна-

чения an . Числа a1 , a2 ,...,an ,... называются членами ряда. Ряд (1) считается задан-

n 1

ным, если известен его общий член an , то есть известно правило an f (n) , по которому каждому номеру n ( n 1,2,... ) ставится в соответствие вполне определенный член

ряда. Индекс n принимает все целые значения от 1 до . В некоторых случаях удобнее начинать нумерацию членов ряда не с 1, а с другого целого числа.

Сумма

Sn a1 a2 ... an ,

слагаемыми которой являются первые n членов ряда (1), называется n -ой частичной суммой ряда (1), а ряд

an 1 an 2 ... an k ... ak ,

k n 1

членами которого являются все члены ряда (1), начиная с (n 1) -го, написанные в том же порядке, что и в ряде (1), называется n -ым остатком ряда (1).

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм {Sn } сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.

Если ряд сходится, то предел

S lim Sn

называется его суммой. В этом случае пишут

S an .

n 1

Если lim Sn , то соответственно пишут an .

n n 1

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (1), равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности {Sn }. Обратно, какую бы последовательность

b1 ,b2 ,..., bn ,...

ни взять, вопрос о наличии для нее конечного предела может быть сведен к вопросу о сходимости ряда

b1 (b2 b1 ) (b3 b2 ) ... (bn bn 1 ) ...

для которого частичными суммами как раз и будут члены этой последовательности. При этом сумма ряда совпадает с пределом последовательности.

Рассмотрим несколько примером сходящихся и расходящихся рядов.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

n 1

∆ Разложим на простейшие дробь	1	:

	x(x 1)

1 . n(n 1)

	1	A				B				A(x 1) Bx											1 A(x 1) Bx												1 ( A B)x A
												x(x 1)									1 A(x 1) Bx												1 ( A B)x A
	x(x 1) x				x 1							x(x 1)
												A 1,								A 1,						1					1			1	.

																									x(x									x 1
							A B 0,													B 1,					x(x				1)			x		x 1
	Частичную сумму ряда можно записать следующим образом
							S					1				1			1		...		1						1
							S	n													...
								n			1 2					2 3			3 4			(n 1) n					n (n 1)
											1 2					2 3			3 4			(n 1) n					n (n 1)
		1			1				1				1				1	1		...		1		1				1			1			1		1	.
		1																		...														1			.
																																				n 1
					2				2 3						3 4						n 1			n		n				n 1						n 1
				1					, то есть заданный ряд сходится и его сумма S 1 . ▲
Тогда, lim 1							1
Тогда, lim 1							1
	n		n 1
	Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

														qn 1 1						q q2		... qn 1 ...

∆Данный ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, то есть последовательности 1, q, q2 ,..., qn 1,... Частичная сумма данного ряда, то есть сумма n первых членов геометрической прогрессии ( q 1 ) определяется по формуле

		S		n	1 q q2		... qn 1
				n
Тогда
lim S		lim	qn 1			1	lim qn	1
lim S	n	lim					lim qn
n	n	n		q 1		q 1 n		1 q
n		n		q 1		q 1 n		1 q

qn 1		.
q	1	.
q	1
	1					1,
	1
			,	q
			,	q
1 q
1 q
	,			q	1.
	,			q	1.

Если q 1 , то	ряд 1 1 ... 1 ... имеет частичную сумму Sn
Если q 1 , то ряд	1 1 ... ( 1)n ... имеет частичные суммы

( k 1,2,... ) и, следовательно, lim Sn не существует.

n и lim Sn .

S2k 1 1,

S2k 0


Таким образом, если	q	1 ,	то ряд qn 1 расходится, если же		q	1 , то ряд
Таким образом, если	q	1 ,	то ряд qn 1 расходится, если же		q	1 , то ряд
				n 1
			1
qn 1 сходится и его сумма равна			1	. ▲

			1 q
n 1			1 q
n 1

Согласно определению, вопрос о сходимости ряда тождественен с вопросом о существовании конечного предела для последовательности частичных сумм {Sn }. При

изучении числовых последовательностей был установлен принцип сходимости для последовательностей, дающий общее условие, необходимое и достаточное для существования предела последовательности (критерий Коши).

Теорема 1 (критерий Коши для последовательности). Для того чтобы последо-

вательность {Sn } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого по-

ложительного числа нашелся номер N такой, что для всех номеров n N неравенство

Sn p Sn

выполнялось при любом натуральном p .

Перефразируя этот принцип применительно к последовательностям частичных сумм ряда, получим следующий критерий.


Теорема 2 (критерий Коши для ряда). Для того чтобы ряд an				сходился, необ-
			n 1
ходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа нашелся номер N
такой, что для всех номеров n N неравенство
	Sn p Sn	an 1 an 2 ... an p		(2)
	Sn p Sn	an 1 an 2 ... an p		(2)

выполнялось при любом натуральном p .

Таким образом, критерий Коши утверждает, что для сходимости ряда нужно, чтобы суммы достаточно далеких членов ряда оказывались сколь угодно малыми, независимо от того, сколько их ни взять. Докажем с помощью критерия Коши, что гармо-

	1		1	1
нический ряд		1			... расходится.
	n		2	3
n 1

Положим в критерии Коши для гармонического ряда p n , тогда

...

n 1

n 2

2n 2n 2n

2n 2

Таким образом,

для любого номера n , то есть если положить

, то не

найдется номера

N ,

чтобы при

n N

выполнялось неравенство (2). Следовательно,

для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и этот ряд расходится.

Используя определение сходимости ряда, свойства предела последовательности

икритерий Коши можно доказать следующие основные свойства сходящихся рядов.

1.Если сходится ряд (1), то сходится и любой из его остатков. Верно и обратное утверждение, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Таким образом, отбрасывание конечного числа начальных членов или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на сходимости ряда.

2.Если ряд (1) сходится, то сумма его n -го остатка стремиться к нулю при

n .

3.Если члены сходящегося ряда (1) умножить на один и тот же множитель c , то

сходимость ряда не нарушится, а сумма S умножится на c .


4. Если ряды an	и bn сходятся, то ряды (an bn ) также будут сходиться,
n 1	n 1		n 1
а их сумма

	(an bn ) an bn .
	n 1	n 1	n 1

Обратное утверждение неверно,		то есть из сходимости ряда (an bn )			или
				n 1

(an bn ) не следует	сходимость	рядов	an и	bn . Например,	ряд
n 1			n 1	n 1

(1 1) (1 1) ... (1 1) ... сходится, так как все члены равны нулю, но выражение


1 1 не имеет смысла, так как оба ряда расходятся.
n 1	n 1

Замечание. Если ряд a1 a2 ... an ... сходится, то члены его можно любым образом сгруппировать скобками (не переставляя), например,

a1 (a2 a3 ) (a4 a5 a6 ) ...

образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел стоящих в скобках. Новый ряд будет сходиться и притом к той же сумме. Обратное неверно, то есть раскрывать скоб-

ки в ряду, вообще говоря, незаконно, например, если убрать скобки в ряду

(1 1) (1 1) ... (1 1) ... , то получим расходящийся ряд.

5. (необходимый признак сходимости)	Общий член an				сходящегося ряда стре-
мится к нулю при n .
Необходимый признак сходимости применяется для установления расходимости

ряда, то есть, если выполняется условие lim an	0 , то ряд an				расходится.
n			n 1
			n 1
		n 2
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд n ln				.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд n ln				.
	n 1	n 1

∆ Проверим для данного ряда выполнение необходимого признака сходимости:

lim n ln n 2

lim ln n 2

(n 1)

lim ln 1

n 1

ln e 1 0 ,

ln en n 1

lim

n 1

следовательно, ряд расходится. ▲

Однако условие lim an 0 не является достаточным, то есть при его выполнении


ряд an может и расходиться.
	n 1
																							1
																							1
	Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ln 1																								.
	Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ln 1																								.
																			n 1				n
	∆	Заметим,					что						для				данного				ряда					выполняется					условие
				1
lim an lim ln 1					ln1 0 , докажем, что тем не менее, этот ряд расходится. Запишем
lim an lim ln 1
n	n			n
выражение для частичной суммы ряда
		1				1					1							1				1					1		1			1
Sn	ln 1		ln 1				ln 1							... ln 1					ln		1			1				1		... 1
Sn	ln 1		ln 1				ln 1							... ln 1					ln		1			1				1		... 1
		1				2					3							n				1					2		3
		1				2					3							n				1					2		3			n
									2			3			4		n	n 1
							ln									...				ln(n 1) .
							ln									...				ln(n 1) .
									1			2			3		n 1		n
Если теперь в полученном равенстве перейти к пределу при n , то получим, что
										lim Sn						lim ln(n 1) .
										n						n
								1
								1
Следовательно, ряд ln 1										расходится. ▲
Следовательно, ряд ln 1										расходится. ▲
					n 1			n

Сходимость знакоположительных рядов

Изучим сходимость рядов все члены которых действительные положительные числа, такие ряды называются знакоположительными.

Теорема 3. Пусть все члены ряда


an	(3)

n 1

положительны, тогда для того, чтобы сходился ряд (3) необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху, причем, если S – сумма ряда, а Sn – n -я частичная сумма, то

S sup Sn .

n 1,2,...

∆ Для доказательства необходимости заметим, что если ряд (3) сходится, то сходится последовательность его частичных сумм, а всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Установим теперь достаточность. Поскольку все члены ряда (3) положительны,

то

Sn 1 Sn an 1 Sn ,

то есть последовательность частичных сумм {Sn } является монотонно возрастающей, и поэтому она сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Кроме того,

если lim Sn S , то S sup Sn . ▲
n	n 1,2,...

Используя теорему 3 можно установить связь между сходимостью рядов с положительными членами и несобственных интегралов от положительных функций.

Теорема 4 (интегральный признак сходимости рядов). Если функция	f (x) , оп-
ределенная при всех x 1 положительна и монотонно убывает, то ряд

f (n)	(4)
n 1
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

f (x)dx .	(5)
1

∆ Пусть k x k 1, тогда в силу монотонного убывания f (x) справедливо

f(k 1) f (x) f (k) , k 1,2,... ,

ипоэтому для площади криволинейной трапеции (рис. 1) можно записать

k 1
f (k 1)	f (x)dx f (k) , k 1,2,...
k
Суммируя эти неравенства от k 1		до k n , полу-
чим
	n 1
Sn 1 f (1)	f (x)dx Sn , n 1,2,...		(6)
	1
Если интеграл (5) сходится, то при любом n			спра-	Рис. 1.
Если интеграл (5) сходится, то при любом n			спра-
ведливо неравенство
	n 1
		f (x)dx	f (x)dx .	(7)
	1		1
Из неравенств (6) и (7) следует
		n 1
	Sn 1 f (1) f (x)dx f (1) f (x)dx ,
		1	1

то есть последовательность {Sn } ограничена сверху и согласно теореме 3 ряд (4) сходится.

	С	другой стороны из теоремы	3 следует,	что если ряд (4) сходится, то
n : Sn	S , где S – сумма ряда. Тогда из (6) следует
		n 1
		f (x)dx Sn S .
		1
	Полагая теперь z 1, причем так чтобы n z			( n N ), получим в силу положи-
тельности		f (x) :
		z	n
		f (x)dx f (x)dx S .
		1	1

z
Итак, совокупность всех интегралов f (x)dx	( z 1) ограничена сверху, а потому инте-
1
грал (5) сходится. ▲
		2n 1
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд					.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд		n2		n	.
	n 1
		2x 1
∆ Рассмотрим интеграл f (x)dx , где	f (x)	2x 1			. Используя определение не-

		x	2	x
1		x		x
1

собственного интеграла, получаем

2x 1

dx lim c

2x 1

dx lim

c d (x2

lim

c2 c

ln 2 ,

x2 x

c x2

x2 x

2x 1

2n 1

то есть интеграл

расходится, и по теореме 4 ряд

расходится. ▲

n2 n

n 1

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

n 1

∆ Для установления сходимости ряда воспользуемся интегральным признаком.

Пусть 1, тогда

1 0,

lim

1 0,

c 1

то есть ряд сходится при 1 и расходится при 1. При 1 получаем гармонический ряд, который согласно критерию Коши расходится.

	1
Таким образом, ряд	1	сходится при	1 и расходится при 1. ▲
Таким образом, ряд	n	сходится при	1 и расходится при 1. ▲
n 1	n
Теорема 5 (признак сравнения рядов). Пусть даны два ряда с положительными
членами

		an	(А)
		n 1
и

		bn .	(В)

n 1

Если an bn ( n 1,2,... ), то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А); а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

∆ Пусть ряд (В) сходится и S его сумма, тогда

N N

an bn S ( N 1,2,...),

n 1 n 1

то есть частичные суммы ряда (А) ограничены и ряд (А) сходится по теореме 3.

Если знакоположительный ряд (А) расходится, то его частичные суммы неограниченно возрастают при росте n . В силу an bn будут справедливы неравенства

N	N
an	bn	( N 1,2,...),
n 1	n 1

то есть частичные суммы ряда (В) неограниченно возрастают, и, следовательно, ряд (В) расходится. ▲

На практике более эффективен следующий признак сравнения.

Теорема 6 (предельный признак сравнения рядов). Если для знакоположительных рядов (6) и (7)

lim an K ,

n bn

то из сходимости ряда (В) при 0 K следует сходимость ряда (А); а из расходимости ряда (А) при 0 K следует расходимость ряда (В).

Замечание. При 0 K оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

∆ Из существования предела lim an K , следует, что для любого положитель-

n bn

ного числа найдется такой номер N , что для любого n N справедливо неравенство

an K . Нетрудно показать, что bn

(K )b

(K )b .

(8)

Из свойства 3 сходящихся рядов следует, что вместе с рядом (В) будет сходится


ряд (K )bn , а тогда с учетом неравенства (8) в силу теоремы 5 следует, что ряд (А)
n 1
сходится.
Если ряд (В) расходится и K 0 , то в этом случае обратное отношение	bn име-
	an

ет конечный предел. Тогда, если предположить, что ряд (А) сходится, то по доказанному признаку должен сходится ряд (В), то есть приходим к противоречию. Следовательно, ряд (А) расходится. ▲

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд

1 n2

n 1

∆ Проведем сравнение данного ряда с гармоническим рядом

, который со-

n 1

гласно примеру 6 расходится. Вычислим предел

1 n2 n4

K lim

lim

1 .

1 n2 n4

1 1

			n
Так как гармонический ряд расходится и K 1, то по теореме 6 ряд			n


		1 n2 n4
	n 1	1 n2 n4
расходится. ▲

На основе сравнения исследуемого ряда с рядом составленным из членов геометрической прогрессии строятся признаки Коши и Даламбера. Рассмотрим предельную форму данных признаков.

Теорема 7 (признак Даламбера). Если члены знакоположительного ряда an

n 1

таковы, что существует предел

lim

an 1

A ,

(9)

n a

то при 0 A 1

данный ряд сходится, при

A 1 –

расходится, а при

A 1 – данный

признак не может установить сходимость ряда.

(n!)

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

(2n)!

n 1

∆ Найдем для данного ряда предел (9):

A lim

[(n 1)!]2

(n!)2

lim

[(n 1)!]2 (2n)!

lim

[1 2 ... n (n 1)]2 (1 2 ... 2n)

... 2n (2n 1) (2n 2)](1 2 ... n)2

n [2(n 1)]!

(2n)!

n (2n 2)!(n!)2

n [1 2

(n 1)2

2n 1

lim

4n2 6n 2

n (2n 1) (2n 2)

(n!)

Получили A

1, следовательно, по признаку Даламбера ряд

сходится. ▲

n 1

(2n)!

3n n!

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .

n 1 nn

∆ Найдем для данного ряда предел (9):

3n 1 (n 1)!

3n n!

3n 1

(n 1)!nn

3 3n 1 2 ... n (n 1) nn

A lim

lim

(n 1)

n 1

(n 1)

n (n 1)

2 ... n

3 lim

n (n 1)n

Заметим, что при вычислении предела использовали второй замечательный предел

				1 n		A	3	1, следовательно, по признаку Даламбера ряд
lim 1					e . Итак, получили
lim 1					e . Итак, получили
n				n			e
		n
	3		n!	расходится. ▲
			n	расходится. ▲
n 1 n

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.2015148.99 Кб431. ГОС & ПРАВО 2011.doc
#
18.08.20192.11 Mб2601. ОСНОВЫ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ.doc
#
14.09.2019147.46 Кб401. Формовка в опоках и заливка форм.doc
#
12.02.2015296.96 Кб511. ЭХ-Коррозия.doc
#
29.03.2016785.41 Кб531.Архитектура.doc
#
12.02.2015487.33 Кб3710 11 Числовые ряды.pdf
#
01.04.2025353.28 Кб610 ГАЗОВАЯ СВАРКА.doc
#
12.02.201516.46 Кб9510. Архитектурные шаблоны проектирования.docx
#
01.04.2025235.01 Кб210. Лекция. Тема 7. Личность и общество.doc
#
15.03.2015160.26 Кб4410.doc
#
12.02.201565.62 Кб14106403f право (2).docx