Лекция Линейные пространства 3 20.05.20 МО-1

Замечание Пусть U линейное подпространство Vn. Базисные векторы линейного подпространства U не всегда можно выбрать из базисных векторов линейного пространства Vn, но обратное справедливо.

Т Базис линейного подпространства можно дополнить до базиса всего пространства:

Пусть Vn линейное пространство, Vk линейное подпространство пространства

Vn. e1, ,ek базис Vk. Тогда этот базис можно дополнить векторами ek 1, ,en Vn

Теоремы о координатах вектора из подпространства

Т Пусть Vk линейное подпространство линейного пространства Vn. Если базис

{e1, ,ek} линейного подпространства Vk дополнить до базиса всего пространства

e1, ,ek ,ek 1, ,en , то в этом базисе все векторы из Vk и только такие векторы будут иметь координаты xk 1 xk 2 xn 0

Доказательство:

Покажем что если x Vk , то xk 1 xn 0.

1

Покажем, что если x Vn и у него xk 1 xn 0 в базисе e1, ,en , то

x Vk.

Рассмотрим x Vn с xk 1 xn 0 в базисе e1, ,en

x x1e1 xkek 0ek 1 0en x1e1 xkek , т.е. x раскладывается по базису подпространства Vk x VK

Т Пусть Vk линейное подпространство линейного пространства Vn. Пусть в Vn задан базис, тогда координаты произвольного вектора из Vk удовлетворяют однородной системе линейных уравнений ранга n k.

Так как матрица этой системы состоит из n k строк матрицы перехода, которая является невырожденной, то ранг матрицы системы равен n k.

Способы задания подпространств

1. Линейное подпространство можно задать базисом.

2

2. Линейное подпространство можно задать как линейную оболочку a1, ,ak .

Отличается от первого способа тем, что среди векторов a1, ,ak могут быть линейно зависимые.

3. Линейное подпространство в Fn можно задать однородной системой линейных уравнений:

Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное подпространство в Fn, т.к. сумма двух произвольных решений однородной системы линейных уравнений является решением данной системы, и произведение произвольного решения системы на число из поля F также является решением системы.

Базисом этого подпространства является фундаментальная система решений.

Размерность подпространства равна n rangA, где А матрица системы.

Для аналогичного задания линейного подпространства в произвольном линейном пространстве Vn над полем F, нужно в Vn выбрать базис и перейти к координатам векторов (Vn Fn ).

Пример

Найдите размерность и базис линейного подпространства в R6, заданного следующей системой линейных уравнений:

3

Фундаментальная система решений базис пространства решений:

Таким образом, заданная система линейных уравнений задает в R6 трехмерное подпространство.

Найдем однородную систему линейных уравнений, задающую данную линейную оболочку.

Составим матрицу из векторов, входящих в рассматриваемую линейную оболочку:

1 12110 A= 1 01

0 11

Припишем к данной матрице произвольный столбец из данной линейной оболочки. Получим расширенную матрицу:

Ранги матрицы А и расширенной матрицы совпадают, т.к. произвольный столбец из линейной оболочки есть линейная комбинация столбцов, входящих в оболочку. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований.

4

Чтобы ранги матрицы А и расширенной матрицы совпадали, нужно чтобы третий и четвертый элементы четвертого столбца расширенной матрицы равнялись нулю. Т.е. чтобы координаты произвольного вектора из линейной оболочки удовлетворяли однородной системе:

x1 x3 x4 0,x1 x2 2x4 0.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть рассматривается линейное пространство Vn над полем F. Vk, Vl линейные подпространства пространства Vn.

О Пересечением линейных подпространств Vk и Vl линейного пространства Vn

называется множество элементов, принадлежащих как подпространству Vk, так и подпространству Vl.

Замечание Пересечение линейных подпространств всегда непустое множество, потому что содержит хотя бы нулевой элемент.

Т Пересечение двух линейных подпространств Vk и Vl линейного пространства Vn является линейным подпространством Vn.

5

О Cуммой линейных подпространств Vk и Vl линейного пространства Vn называется множество векторов x линейного пространства Vn, которые представляются как x x1 x2, x1 Vk , x2 Vl .

То есть сумма двух линейных подпространств состоит из всевозможных сумм векторов подпространств.

Т Сумма двух линейных подпространств Vk и Vl линейного пространства Vn является линейным подпространством Vn.

Доказательство:

Проверим выполнение двух условий линейного подпространства. 1. Рассмотрим a,b Vk Vl ,

Т.к. a,b Vk Vl a a1 a2,b b1 b2 a b a1 b1 a2 b2 a b Vk Vl .

2. a Vk Vl a a1 a2 .

Vk Vl

F a a1 a2 a Vk Vl .

Vk Vl

Без доказательства.

Следствие Пусть Vk, Vl – линейные подпространства линейного пространства Vn. Если k+l > n, то Vp 0 .

Доказательство:

Так как s n и k l s p p k l s k l n n n 0 p > 0.

6

Пример 1

Дано: R3 и два линейных подпространства в R3 P и Q. Подпространства заданы однородными системами линейных уравнений.

Найдите размерности и какие-нибудь базисы P Q и P+Q .

Для нахождения базиса в P Q решим систему линейных уравнений, состоящую из уравнений первой и второй систем.

x1 x2 4x3 0,2x1 9x2 6x3 0,x1 x2 3x3 0.

Следовательно, P Q ={0}. dim P Q=0. Базиса в P Q нет.

Чтобы найти базис в P+Q найдем размерности и базисы P и Q, для этого решим каждую систему отдельно.

x1 6С,

Общее решение системы: x2 2С,

x3 С.

6

Следовательно, dim P=1, базис P состоит из одного вектора, например, a1 2 .

1

Подпространство Q: {x1 x2 3x3 0.

x1 С1 3С2,

Общее решение системы: x2 С1,

x3 С2.

7

P+Q линейная оболочка a1,b1,b2 .

Для нахождения базиса в ней нужно найти максимальную линейно независимую подсистему векторов в системе векторов {a1,b1,b2 }. При этом можно воспользоваться формулой Грассмана k+l=p+s (см. теорему).

В нашем случае s= k+l p=1+2 0=3.

Из этого следует, что dim P+Q =3, {a1,b1,b2 } базис P+Q.

Данную задачу можно решать, используя геометрические интерпретации.

Уравнение вида Ax1 Bx2 Cx3 0 задает плоскость в трехмерном пространстве,

проходящую через начало координат, b1,b2 направляющие векторы данной плоскости.

Поэтому Q множество векторов, лежащих в плоскости. P множество векторов,

лежащих на прямой, проходящей через начало координат, с направляющим вектором a1.

Возможно два случая:

1. Прямая и плоскость пересекаются в начале координат.

2. Прямая лежит в плоскости.

Тогда P Q = P =<a1>. dim P Q=1. {a1} базис в P Q. P+Q = Q, dim P+Q =2, {b1,b2 } базис P+Q.

Пример 2 Дано: R3 и два линейных подпространства в R3 P и Q. Подпространства заданы однородными системами линейных уравнений.

Найдите размерности и какие-нибудь базисы P Q и P+Q .

8

В данном случае, очевидно, что прямая P лежит в плоскости Q.

Прямая сумма линейных подпространств

О Cумма двух линейных подпространств Vk и Vl называется прямой, если их

пересечение содержит только нулевой вектор, т.е. Vk Vl ={0}.

Обозначение прямой суммы:Vk Vl .

Т Пусть Vn =Vk Vl . Тогда x Vn !y Vk , !z Vl такие, что x y z .

9