Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция Многочлены 2 МО-1

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
22.08.2023
Размер:
971.57 Кб
Скачать

Лекция «Многочлены (продолжение)»

Деление многочленов с остатком

Эта теория во многом совпадает с соответствующей теорией целых чисел. А именно: на множестве многочленов, так же как и на Z, вводятся операция деления с остатком, понятия делимости, наибольшего общего делителя, взаимно простых элементов и т. п., причем основные результаты (и часто их доказательства) практически идентичны (с некоторыми оговорками).

При ручных вычислениях алгоритм деления многочленов обычно реализуется с помощью схемы деления уголком.

Пример. Разделим f(x) = 2x4 −10x3 + 23x2 − 22x − 3 на g(x) = x2 − 3x + 5 с остатком:

Если мы обозначим q(x) = 2x2 − 4x + 1, а r(x) = x − 8, то мы можем представить f(x) в следующем виде:

 

 

 

f(x) = g(x) q(x) + r(x).

 

 

 

 

 

Теорема Пусть f ,g C x , g 0. Тогда !q,r C x :

 

 

 

 

f q g r

, причем r(x) = 0 или degr degg.

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть deg f n,

degg m.

 

 

 

 

 

 

 

Если n m, то можно положить

q x 0, r x f x .

 

 

 

 

Если n m, то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел.

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x a

n

xn a , g x b xm b ,

a

n

0 и b

0.

 

 

0

m

0

 

m

 

Положим f x f x

an

xn mg x .

 

1

bm

 

 

 

Тогда deg f1 n.

1

 

 

Пусть deg f

n и

f x a

 

xn1 a .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

n

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Если n1 m, то остановим процесс вычисления;

 

 

 

если n m,

то положим f

2

x

f

 

x

an1

 

xn1 mg x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

bm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть n2 deg f2 ,

an2

– старший коэффициент f2,

 

 

 

Если n2 m, то остановим процесс вычисления;

 

 

 

если n

m, то положим f

3

x

f

2

x

an2

 

xn2 mg x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т.д. …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

степени

многочленов

 

f1, f2, убывают, то получим

fk :

f

k

x f

k 1

x

 

ank 1

xnk 1 mg x и n m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Процесс останавливается.

Суммируя полученные ранее выражения, получаем:

 

 

 

a

n

 

 

an

 

 

m

 

 

 

an

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

 

xn m

1

xn1

 

 

 

 

xnk 1

m g x f

 

x .

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

Тогда q x

a

n

xn m

 

an

 

xn1 m

an

k 1

 

xnk 1

m ,

r x fk x , т.е.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

получено требуемое

 

 

 

bm

 

bm

 

 

bm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

представление f(x).

Докажем единственность.

Пусть f q1g r1 и f q2g r2.

Тогда q1 q2 g r2 r1.

Если q1

q2

, то и r1 r2.

 

Если q1

q2

, то deg q1 q2 0

 

deg q1 q2 g m, a deg r2 r1 m противоречие q1 q2,

r1 r2 .

Замечание Из указанного в теореме алгоритма деления с остатком следует, что если f x и g x – многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленов f1 x , f2 x , , а значит и коэффициенты q x и r x – действительные.

Определение Если f gq r и degr degg или r(x)=0 , то f(x) называется делимым, g(x) − делителем, q(x) − частным, r(x) − остатком при делении f x на g x .

Определение Если f gq r и degr degg или r(x)=0 , то f(x) называется делимым, g(x) − делителем, q(x) − частным, r(x) − остатком при делении f x на g x .

2

 

Определение Будем говорить, что f x делится на

g x , если остаток при делении

r(x) = 0.

 

 

Обозначать будем f(x) g(x) ,

 

а g(x)

f(x) обозначение f(x) делит g(x) без остатка.

 

Корни многочленов

Определение Число с C называется корнем f(x) C[x], если f(c)=0.

Теорема (теорема Безу).

Пусть f(x) C[x]. Остаток от деления f(x) на x c равен f(c). Доказательство:

Разделим f(x) на x c.

По предыдущей теореме f (x) (x c)q(x) r(x)и остаток r(x) либо нулевой, либо

deg r(x)<deg (x c)=1.

1)Если r(x)=0, то f (x) (x c)q(x) и f(c)=0= r(x),

2)Если deg r(x)<deg (x c)=1, то r(x) С, r(x) r. f (x) (x c)q(x) r r = f(c).

СледствиеПусть f(x) C[x], тогда f(c)=0 f(x) делится на x c Доказательство:

Т.к. f (x) (x c)q(x) f (c),

То если f(c)=0, то f (x) (x c)q(x), т.е. f(x) делится на x c,

В обратную сторону, если f(x) делится на x c, то f (x) (x c)q(x) f(c)=0.

Определение Число с C называется корнем кратности k многочлена f(x) C[x], если f(x) делится на (x c)k и не делится на (x c)k+1.

Если k =1, то корень называется простым, k =2 двойным и т.д..

Схема Горнера

Многочлен f(x) можно разделить на x c с остатком и заодно найти значение f(c), используя так называемую схему Горнера. Пусть f(x) имеет вид:

f(x) = an xn + an-1xn-1 +…+ a1 x+a0,

тогда f (x) (x c)q(x) f (c), где q(x) = bn-1xn-1 +…+ b1 x+b0.

3

Приравнивая левую и правую часть:

an xn + an-1xn-1 +…+ a1 x+a0=(x c)( bn-1xn-1 +…+ b1 x+b0)+ f(c).

Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем:

an bn 1,

an 1 bn 2 cbn 1, an 2 bn 3 cbn 2 , …,

a1 b0 cb1, a0= f(c) сb0

Откуда

bn-1= an,

bn-2= an-1+с bn-1, bn-3= an-2+с bn-2,

…,

b1= a2+с b2, b0= a1+с b1, f(c)= a0+с b0.

Для практического использования схему Горнера строят следующим образом:

an

 

an 1

ak

a1

a0

c bn 1 an

bn 2 an 1 cbn 1

… bk 1 cbk ak

b0 a1 cb1

f(c)= a0+с b0.

Отметим, что f(c) – это остаток при делении многочлена f(x) на x c

 

Пример.

Поделите с остатком f(x)= x5 4x3 +6 x2 8 x +10 на x 2. Найдите f(2)

 

1

0

-4

6

 

-8

10

2

1

0 2 1 2

-4+4=0

6 0 2 6

 

-8+12=4 10 8 18 f (2)

Таким образом, частное q(x)= x4 +2x3 +6 x +4, остаток r =18,

f(2)=18.

 

Основная теорема алгебры

Теорема (основная теорема алгебры).

Всякий многочлен f (x) C[x],deg f (x) 1 имеет хотя бы один комплексный корень.

4

Первые попытки доказательства этой теоремы в XVII в. – Роте, Жирар, Декарт, в XVIII в. – Д’Аламбер, Эйлер, Лаплас, Лагранж. Первое строгое доказательство в 1799 г. – К.Гаусс. Доказательство см., например, Курош.

Следствие

 

 

 

 

 

 

f (x) C[x],deg f (x) 0,справедливо разложение

 

 

 

f (x) an(x с1)...(x сn),

( )

 

 

 

где an − старший коэффициент, с1,...,сn − корни многочлена

f (x).

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

Пусть

f (x) a

n

xn ... a .

По основной теореме алгебры

корень с1

многочлена

 

 

0

 

 

 

 

f (x); тогда по следствию из теоремы Безу справедливо представление

f (x) (x с1)q1(x),

где q1(x) имеет степень (n 1)

и по основной теореме алгебры

имеет

корень с2,

следовательно

f (x) (x c1)(x c2)q3(x), degq3(x) n 2, и т.д.

 

 

 

Витоге получаем выражение ( ), где коэффициент an нужен, т.к. коэффициент при xn должен быть an .

Объединяя одинаковые множители, разложение ( ) перепишем в виде:

f (x) a

n

(x

с )k1...( x с

l

)kl ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

c1,...,cl

− попарно

различные корни

f(x), k1,...,kl

кратности

корней,

k1 ... kl

n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие Каждый многочлен

f (x) C[x],deg f (x) n 1,

имеет n ровно корней,

если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

 

 

Формулы Виета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

 

 

(формулы

Виета).

Пусть

 

 

f (x) C[x],deg f (x) n 1, и

an=1.

f (x) xn a

n

1

xn 1

... a x a

0

, и c ,...,c − корни

f (x), причем каждый корень выписан

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

столько раз, какова его кратность

 

 

 

 

 

 

xn a

n

1

xn 1

... a x a

0

(x c ) ... (x c

n

).

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5

 

an 1 1 с2 ... сn),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 2

с1с2 с1с3 ... с1сn с2с3 ... сn 1сn,

 

an 3

1с2с3 ... с1с2сn ... сn 2сn 1сn),

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

( 1)n 1(c c ...c

 

c c

 

...c

n 2

c

n

... c

c ..c ),

 

1

 

 

 

1 2 n 1

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

2 3 n

 

a

0

( 1)nc ...c

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства

нужно

раскрывать скобки в правой части равенства

xn a

n 1

xn 1 ... a x a

0

(x c ) ... (x c

n

) и сравнивать коэффициенты при одинаковых

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степенях х в левой и правой частях равенства.

 

 

При n=2,

f (x) x2

a x a

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 (c1 c2),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0 c1c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=3,

f (x) x3 a

2

x2 a x a

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

a2 (c1 c2 c3), a1 c1c2 c1c3 c2c3, a0 c1c2c3.

Многочлены с действительными коэффициентами

 

 

 

 

Пусть

f (x) a

n

xn a

n 1

xn 1 ... a

x a

 

C[x],

но a

i

R.

Такой

многочлен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется многочленом с действительными коэффициентами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Если с C − корень многочлена

f (x)

с действительными коэффициентами,

то

 

C − также корень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как с C − корень многочлена f (x)

 

сn a

сn 1

... a с a

0. Возьмем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

1

0

 

 

комплексное сопряжение обеих частей этого равенства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

 

свойствам

 

 

 

 

 

 

комплексно

 

 

 

сопряженных

 

чисел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ... a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сn a

сn 1

... a с a

 

 

 

 

сn ...

 

 

a

 

 

,

 

0

 

 

 

f (с)

0

a

n

a

0

n

с

с

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ... a

 

a

 

0 f (

 

) 0. Что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n

с

с

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Следствие Из теоремы если

многочлен

с действительными коэффициентами

имеет комплексный корень с, то f(x) x c

и f(x) x

 

 

f(x) (x с)(x

 

).

c

 

c

(x с)(x

 

) x2 (c

 

)x c

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

c

c

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) R , c

 

R, (c

 

 

об

 

 

об

 

 

 

(c

c

c

c

) p , c

c

q,

 

 

 

Т.е. если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень,

то он делится на многочлен вида x2 px qс отрицательным дискриминантом.

Неприводимые многочлены. Разложение многочленов на множители

Также как и целые числа можно разложить на простые множители, многочлены можно разложить в произведение неприводимых многочленов.

Определение Многочлен f (x) P[x],deg f (x) n 0, называется неприводимым над

множеством P=C R, если его нельзя представить в виде произведения многочленов из P[x],

степени которых меньше n и больше 0.

Неприводимыми многочленами над С являются многочлены вида x c и разложение многочлена f (x) С[x],deg f (x) n 0 на неприводимые многочлены имеет вид:

 

f (x) a

n

(x с )k1 ...( x с

l

)kl ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где c1,...,cl − попарно различные корни f(x),

k1,...,kl

кратности корней.

 

 

Неприводимыми

многочленами

над

R являются

многочлены

вида x c,

c R и

x2 px q,

 

p,q R, p2 4q 0.

 

Разложение

 

многочлена

c

действительными

коэффициентами на неприводимые многочлены над R имеет вид:

 

 

 

 

 

 

f (x) a

n

(x с )k1...(x c )kl

(x2 p x q )m1

...(x2 p x q )mt ,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

l

 

 

 

1

1

 

 

 

t

t

 

 

 

 

где c ,...,c , p ,..., p ,q ,...,q R,

p2

4q

 

0, j

 

. И k

... k

 

2(m

... m ) n.

 

j

1,t

l

 

1

l

1

 

 

 

t 1

t

j

 

 

 

 

 

1

 

 

1

t

 

Это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.

7

Чтобы разложить данный многочлен на неприводимые множители над C, нужно решить квадратное уравнение x2 2x+2=0. Его корни x1,2 1 i.

Поэтому искомое разложение: f (x) (x 2)(x 1 i)2(x 1 i)2.

8