Лекция Линейные отбражения 2 3.06.2020 МО-1

2. При линейном отображении Aˆ :V V линейно зависимая система векторов пространства V отображается в линейно зависимую систему векторов пространства V .

4. При линейном отображении Aˆ :V V любое линейное подпространство U линейного пространства V отображается в линейное подпространство линейного

1

пространства V .

Доказательство:

Aˆx Aˆ x1e1 xkek x1Aˆe1 xk Aˆek .

Т.е. x U отображается в линейную комбинацию векторов Aˆe1, ,Aˆek .

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов Aˆe1, ,Aˆek

1Aˆe1 k Aˆek Aˆ 1e1 kek .

U

любая линейная комбинация векторов Aˆe1, ,Aˆek является образом какого-либо вектора из подпространства U .

Aˆ U Aˆe1 Aˆek , а линейная оболочка векторов представляет собой линейное подпространство.

Замечание dim Aˆ U min dimU,dimV по следствию к свойству 3.

Образ и ядро линейного отображения

Доказательство:

2

однородной системе линейных уравнений AX=0. Множество решений однородной системы линейных уравнений представляет собой линейное подпространство пространства Fn, изоморфного Vn . Ядро линейного отображения является линейным подпространством пространства Vn размерности n r.

О Дефектом линейного отбражения называется размерностьKerAˆ .

Т Aˆ :Vn Vm инъекция KerAˆ ={0} (rangA=n).

Действия с линейными отображениями

Рассматриваются линейные пространства, заданные над одним и тем же полем F.

линейных пространств V и V , то матрица А+В матрица линейного отображения Aˆ Bˆ в тех же базисах.

Доказательство:

4

Aˆ Bˆ линейное?

1. x,y V Aˆ Bˆ x y Aˆ x y Bˆ x y Aˆx Aˆy Bˆx Bˆy Aˆx Bˆx Aˆy BˆyAˆ Bˆ x Aˆ Bˆ y

2. x V, F Aˆ Bˆ x Aˆ x Bˆ x Aˆx Bˆx Aˆ Bˆ x

Условия линейности отображения выполняются Aˆ Bˆ линейное отображение.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

x Aˆ y Bˆ z Vn Vm Vk

5

Поскольку X координатный столбец произвольного вектора x , то С=ВА.

Алгебра линейных операторов

Пусть V линейное пространство над полем F. Рассмотрим множество всех линейных операторов пространства V.

Aˆ :V V , Bˆ :V V , Cˆ :V V , , F справедливы следующие свойства аналогичные свойствам для квадратных матриц одного порядка.

1)Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ .

2)Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ .

3)0ˆ : Aˆ 0ˆ Aˆ Aˆ .

4)Aˆ Aˆ : Aˆ Aˆ 0 .

5)Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ .

6)Aˆ Aˆ Aˆ .

7)Aˆ Aˆ .

8)1 Aˆ Aˆ .

9)Aˆ BˆCˆ AˆBˆ Cˆ .

10) Aˆ Bˆ Cˆ AˆBˆ AˆCˆ . Bˆ Cˆ Aˆ BˆAˆ CˆAˆ .

6

11) AˆBˆ Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ

Из свойств 1-8 следует, что множество линейных операторов Aˆ является линейным пространством над полем F.

Из свойств 1-4,9,10 следует, что Aˆ является кольцом.

О Кольцо К, которое является одновременно линейным пространством над полем F, к тому же a,b K, F выполняются условия: ab a b a b , называется

алгеброй над полем F. Размерностью алгебры называется размерность линейного пространства.

Примеры

1.Алгебра линейных операторов.

2.Алгебра квадратных матриц одного порядка.

3.Алгебра многочленов.

Инвариантные подпространства линейного оператора

О.1 Пусть Aˆ :Vn Vn линейный оператор. Линейное подпространство U Vn

называется инвариантным относительно оператора Aˆ , если u U,Aˆ u U .

Примеры.

Само линейное пространство и его нулевое подпространство инвариантны относительно любого линейного оператора.

Образ и ядро линейного оператора инвариантные подпространства относительно данного оператора.

Любое линейное подпространство линейного пространства инвариантно относительно линейных операторов: Oˆ , Eˆ , Hˆ .

линейное подпространство Vn. e1 ek ,ek 1 en базис Vn, в котором первые k векторов

7

принадлежат Vk. Тогда матрица линейного оператора в этом базисе будет иметь блочный

Доказательство:

Построим матрицу оператора Aˆ в выбранном базисе:

Замечание Верна и обратная теорема: если матрица линейного оператора имеет блочный вид, то оператор имеет инвариантное подпространство.

таким образом, чтобы он состоял из базисов подпространств, получим, что матрица линейного оператора в этом базисе будет иметь блочно диагональный вид:

8

Замечание Верна обратная теорема: если матрица линейного оператора в некотором базисе является блочно диагональной, то линейное пространство является прямой суммой своих подпространств, инвариантных относительно оператора.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

значению и наоборот. Собственному вектору x соответствует одно собственное значение , а собственному значению соответствует бесконечное множество собственных векторов.

Действительно, пусть x собственный вектор, соответствующий собственному значению , рассмотрим вектор x, где F.

Aˆ ( x) = Aˆ (x) = x = ( x), следовательно, x также собственный вектор,

соответствующий собственному значению .

Как найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора? 1. Нахождение собственных значений линейного оператора

Выберем в линейном пространстве Vn базис e1, ,en , тогда выражение Aˆx x

можно записать в матричном виде следующим образом

AX X ,

где А – матрица линейного оператора Aˆ ,

Х – координатный столбец вектора x в базисе e1, ,en .

Выражение AX X можно преобразовать следующим образом:

AX X EX A E X 0.

9

A E X 0 это запись в матричном виде квадратной однородной системы

линейных уравнений с матрицей A E .

Поскольку при поиске собственных векторов мы ищем ненулевые векторы,

значения линейного оператора: 1, 2

Замечание В случае линейного оператора вещественного линейного пространства, прежде всего, нас интересуют вещественные корни его характеристического уравнения. Их может быть не более n. В частности, характеристическое уравнение может вообще не иметь вещественных корней, а линейный оператор не будет иметь вещественных собственных значений.

Т Характеристический многочлен линейного оператора Aˆ :Vn Vn является инвариантом при преобразовании базиса линейного пространства Vn, т.е. характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса линейного пространства.

Можно сформулировать теорему так: если А и А – матрицы линейного оператора Aˆ в разных базисах линейного пространства Vn, то их характеристические

10