Lektsia_Algebraicheskie_struktury_2_MO-1
.pdf
Алгебраические структуры (продолжение)
Группа симметрий правильного треугольника
Имеется правильный треугольник. Рассмотрим преобразования плоскости, совмещающие треугольник. К ним относятся 6 преобразований. 3 поворота:
тождественное преобразование - поворот на угол 0° вокруг центра треугольника, поворот на угол 120° (при этом вершина 1 отображается в вершину 3, 2 в 1, 3 в 2), поворот на угол 240°.
3 отражения относительно его высот: 1-1', 2-2', 3-3'.
В качестве операции на множестве преобразований рассматривается композиция преобразований. Так композиция поворота на 120° и отражения относительно высоты 1-1' равна преобразованию отражения относительно высоты 3-3'.
Можно показать, что данное множество вместе с операцией композиции образует группу 6 порядка, которую назовем группой симметрий правильного треугольника.
Симметрическая группа (группа подстановок степени n)
Определение Подстановкой степени n называется взаимно однозначное отображение множества из n элементов на себя.
Множество всех подстановок степени n обозначается Sn или S(n).
В качестве множества из n элементов, абстрагируясь от природы этих элементов, рассмотрим множество {1,2,...,n}.
1 2 ... n
Подстановки будем изображать следующим образом: f= ,
1 2 ... n
что означает отображение 1 1,2 2,...,n n.
Теорема Число различных подстановок степени n равно n!.
1
Доказательство: В качестве первого элемента 1 |
можно выбрать |
любой из |
nэлементов, в качестве второго − любой из оставшихся |
n 1 элементов, и |
т.д. Всего |
различных возможностей выбора n (n 1) ... 1 n!. Таким образом, | Sn | n. |
|
|
На множестве подстановок вводится операция умножения (композиции) по формуле
(f1 f2)( i ) f2( f1( i )).
Например, если f , f |
|
S |
|
: |
f |
1234 |
|
f |
|
1234 |
|
f |
|
f |
|
1234 |
|
, f |
|
f |
1234 |
|
|||
2 |
4 |
|
|
, |
2 |
|
, то |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
. |
|||||||||
1 |
|
|
1 |
|
3142 |
|
|
|
|
|
|
|
4123 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1342 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3421 |
|||
Теорема Множество Sn с операцией |
образует некоммутативную группу. |
|
||||||||||||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Ассоциативность |
|
|
|
|
умножения. |
|
Пусть |
f1, f2, f3 Sn |
и |
||||||||
f1( 1) 2, f2( 2) 3, f3( 3) 4 |
|
Тогда по |
определению |
легко |
проверить выполнение |
|||||||||||||
равенства (f1 (f2 f3))( 1) ((f1 |
f2) f3)( 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Тождественная подстановка |
1 |
2 ...n |
является |
нейтральным элементом |
в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 ...n |
|
|
|
|
|
||||
рассматриваемом множестве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Для произвольной подстановки f= |
1 |
2 ... n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
... |
симметричный элемент получается |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перестановкой строк, т.е. f 1= |
1 |
|
2 |
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Некоммутативность следует из предыдущего примера.
О Группа (Sn, ) называется симметрической группой степени n.
Подгруппа
Пусть − бинарная алгебраическая операция на А.
О Подмножество B A называется замкнутым относительно , если b1,b2 B выполняется b1 b2 B.
O Пусть (G, ) – группа. Подмножество H G называется подгруппой, если H само является группой относительно .
2
Т.е. (H, ) – подгруппа, если
1.Операция является замкнутой:a,b H выполняется a b H .
2.e H
3.Каждый элемент множества H имеет симметричный элемент:
a H a' H a a' a' a e
Примеры
1.Тривиальные подгруппы группы (G, ): ({e}, ) и (G, ).
2.(Z,+) – подгруппа группы (Q,+).
3.SL(n,R) – подгруппа группы GL(n,R). SL(n,R) – специальная линейная группа матриц порядка n c определителем равным 1.
Циклические группы
О Пусть (G, ) – мультипликативная группа, а G – элемент группы. Если g G
можно представить в виде g=an, где n Z, то G называется циклической группой с образующим элементом а.
Обозначение <a> .
|
def |
Т.е. |
G = <a> { an n Z }. |
Аналогично, для аддитивной группы (G, +).
def
G = <a> { na n Z },
в данном случае все элементы группы это целочисленные кратные образующего элемента
а.
Примеры
1)(Z, ) − циклическая аддитивная группа с образующим элементом 1.
2)(C(n), ) − группа корней n-ой степени из 1 − циклическая мультипликативная
группа с образующим элементом, получаемым при k 1, т.е. z1.
То, что (C(n), ) − группа, следует из свойств корней n-ой степени из 1.
Изоморфизм групп
3
~
ОГруппы (G, ) и (G, ) назовем гомоморфными, если существует отображение
~ |
f (а b) f (a) f (b). |
Отображение f называется при этом |
||
f :G G такое, что a,b G |
||||
гомоморфным отображением или гомоморфизмом. |
|
|
|
|
Пример Отображение f (x) ex является гомоморфизмом из |
(R; ) в |
(R \{0},). Это |
||
следует из справедливости равенства ex y ex ey. |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
отображение |
О Группы (G, ) и (G, ) назовем изоморфными, если существует |
||||
~
f :G G такое, что
1.a,b G f (а b) f (a) f (b).
2.f – биективное отображение.
Отображение f называется при этом изоморфным отображением или изоморфизмом.
~
Обозначение (G, ) (G, ).
Т.е. можно сказать, что изоморфизм − это биективный гомоморфизм.
Примеры
1) Отображение f (x) ex является изоморфизмом из (R; ) в (R ;). (R
множество положительных действительных чисел). Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).
2) Комплексные числа определялись как упорядоченные пары действительных чисел. Множество пар вида (x,0) отождествлялись с множеством действительных чисел R .
Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.
3) Группа симметрий правильного треугольника изоморфна симметрической группе степени 3 (S3 , ).
Построим изоморфное отображение. Каждому преобразованию треугольника
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
поставим в соответствие подстановку |
|
|
|
|
|
, где |
i |
– номер вершины i после |
|
1 |
2 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
преобразования.
Тождественное преобразование 1 2 3 ,
1 2 3
4
поворот на угол 120° |
1 2 |
3 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
поворот на угол 240° |
1 2 |
3 |
|
|||
|
|
|
, |
|||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
отражение относительно 1-1' |
1 2 |
3 |
|
|||
|
|
|
, |
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||
отражение относительно 2-2' |
1 2 |
3 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
отражение относительно 3-3' |
1 2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
. |
||
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
Композицию преобразований треугольника можно заменить на композицию соответствующих подстановок. Так композиция поворота на 120° и отражения относительно
|
|
|
|
|
|
1 2 |
3 |
1 2 |
3 |
|
высоты 1-1' соответствует композиции подстановок |
и |
|
: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
2 |
1 3 |
2 |
|
120° 1-1' |
1 2 3 |
|
1 2 3 |
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
=3-3' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 2 |
|
1 3 2 |
|
2 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие свойства изоморфизма |
|
|
|||||
|
|
|
~ |
|
~ |
− изоморфизм. Тогда |
|
|
|
|
Пусть (G, ) (G, ) и |
f :G G |
|
|
|
||||||
1) |
Если e |
− нейтральный элемент в (G, ), то |
f (e) |
|
|
~ |
||||
− нейтральный элемент в G |
||||||||||
относительно ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть u G . Докажем, что u f (e) u. |
|
|
|
|
||||||
Пусть a f 1(u). Тогда |
|
f (a) f (e) f (a e) f (a) u . |
|
|
|
|||||
Аналогично доказывается f (e) u u. |
|
|
|
|
||||||
2) |
Если а и a' − взаимно симметричные элементы из G, то |
f (a) и f (a') |
− взаимно |
|||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметричные из G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т.к. а и a' − |
взаимно симметричные элементы из G, то a a' a' a e, где e − |
|||||||||
нейтральный элемент в G. Действуя на все элементы этого равенства функцией f |
, получаем |
|||||||||
5
требуемое равенство: f (a a') f (a' a) f (e) |
f (a) (a') f (a') f (a) f (e) f (a) и |
~ |
|
f (a') − взаимно симметричные в G . |
|
Теорема Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка n.
Доказательство: Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом a отображается взаимно однозначно на аддитивную группу (Z, ),
если каждому элементу ak (если группа мультипликативная) или ka (если группа
аддитивная) этой группы ставится в соответствие число |
k . Это |
отображение является |
|||||
изоморфизмом. |
|
|
|
|
|
|
|
Если рассматривается конечная мультипликативная циклическая группа G порядка n |
|||||||
с образующим элементом a, то, |
рассматривая мультипликативную группу корней n-ой |
||||||
степени из единицы (С(n), ) и |
обозначая z cos |
2 |
isin |
2 |
, |
изоморфизм строится |
|
|
|
||||||
|
1 |
n |
|
n |
|
||
|
|
|
|
||||
сопоставлением элементу ak группы G числа z1k C (n).
Теорема (Кэли) Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n (Sn , ).
Алгебраические структуры с двумя бинарными алгебраическими операциями
Кольцо
В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.
О Кольцом называется непустое множество K, на котором заданы 2 бинарные алгебраические операции + (сложение) и (умножение), удовлетворяющее условиям:
1)(K;+) – абелева группа.
2)(K; ) – полугруппа.
3)умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.a,b,c K (a b) c a c b c (правая дистрибутивность)
c (a b) c a c b (левая дистрибутивность)
Обозначение (K; ,).
6
Структура (K;+) называется аддитивной группой кольца, (K; ) – мультипликативной полугруппой.
Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.
Замечание Чтобы проверить, что какое-то множество с 2 бинарными операциями является кольцом, нужно:
1.Проверить, что эти операции являются алгебраическими;
2.Проверить выполнение 6 аксиом кольца:
1) + ассоциативная операция:
a,b,c K (a b) c a (b c).
2)+ коммутативная операция:
a,b K a b b a
3)В K существует нулевой элемент:
0 K a K a 0 0 a a.
4) Каждый элемент множества K имеет противоположный элемент:
a K a K a ( a) ( a) a 0.
5) ассоциативная операция:
a,b,c K (a b) c a (b c).
6) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.
a,b,c K (a b) c a c b c, c (a b) c a c b.
Простейшие свойства кольца
1.В кольце (K; ,) ! нулевой элемент.
2.Каждый элемент кольца (K; ,) имеет единственный противоположный элемент.
3.В произвольном кольце (K; ,) разрешимы уравнения вида: a+x=b.
Действительно, уравнение имеет решение x = −a +b.
4. В кольце (K; ,)можно определить операцию вычитания:
def
a − b a +(− b) , a,b K ,
7
5. В кольце (K; ,) можно определить целочисленное кратное произвольного элемента:
nа, a K n Z .
В кольце можно определить натуральную степень произвольного элемента:
аn, a G n N .
Примеры колец
1.(Z; ,),(Q; ,),(R; ,) образуют бесконечные коммутативные кольца с единицей
относительно обычных операций сложения и умножения.
2.Множество {0}, состоящее из одного элемента 0, и операциями
сложения и умножения, заданными формулами: 0+0=0, 0 0=0, образует кольцо, называемое
нулевым кольцом.
3.Множество C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b], функций с
операциями + и , определенными следующим образом:
( f g)(x) f (x) g(x), |
( f g)(x) f (x) g(x), |
образует бесконечное коммутативное кольцо с единицей.
4.Множество квадратных матриц с комплексными элементами (Mat(n,C),+, ) бесконечное некоммутативное кольцо с единицей.
5.Множество многочленов (С[x],+, ) бесконечное коммутативное кольцо с
единицей.
Контрольные вопросы 1. Приведите свои примеры а) группы и подгруппы, б) кольца.
8