Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsia_Algebraicheskie_struktury_2_MO-1

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
22.08.2023
Размер:
647.25 Кб
Скачать

Алгебраические структуры (продолжение)

Группа симметрий правильного треугольника

Имеется правильный треугольник. Рассмотрим преобразования плоскости, совмещающие треугольник. К ним относятся 6 преобразований. 3 поворота:

тождественное преобразование - поворот на угол 0° вокруг центра треугольника, поворот на угол 120° (при этом вершина 1 отображается в вершину 3, 2 в 1, 3 в 2), поворот на угол 240°.

3 отражения относительно его высот: 1-1', 2-2', 3-3'.

В качестве операции на множестве преобразований рассматривается композиция преобразований. Так композиция поворота на 120° и отражения относительно высоты 1-1' равна преобразованию отражения относительно высоты 3-3'.

Можно показать, что данное множество вместе с операцией композиции образует группу 6 порядка, которую назовем группой симметрий правильного треугольника.

Симметрическая группа (группа подстановок степени n)

Определение Подстановкой степени n называется взаимно однозначное отображение множества из n элементов на себя.

Множество всех подстановок степени n обозначается Sn или S(n).

В качестве множества из n элементов, абстрагируясь от природы этих элементов, рассмотрим множество {1,2,...,n}.

1 2 ... n

Подстановки будем изображать следующим образом: f= ,

1 2 ... n

что означает отображение 1 1,2 2,...,n n.

Теорема Число различных подстановок степени n равно n!.

1

Доказательство: В качестве первого элемента 1

можно выбрать

любой из

nэлементов, в качестве второго − любой из оставшихся

n 1 элементов, и

т.д. Всего

различных возможностей выбора n (n 1) ... 1 n!. Таким образом, | Sn | n.

 

На множестве подстановок вводится операция умножения (композиции) по формуле

(f1 f2)( i ) f2( f1( i )).

Например, если f , f

 

S

 

:

f

1234

 

f

 

1234

 

f

 

f

 

1234

 

, f

 

f

1234

 

2

4

 

 

,

2

 

, то

1

2

 

 

 

2

 

 

.

1

 

 

1

 

3142

 

 

 

 

 

 

 

4123

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1342

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3421

Теорема Множество Sn с операцией

образует некоммутативную группу.

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Ассоциативность

 

 

 

 

умножения.

 

Пусть

f1, f2, f3 Sn

и

f1( 1) 2, f2( 2) 3, f3( 3) 4

 

Тогда по

определению

легко

проверить выполнение

равенства (f1 (f2 f3))( 1) ((f1

f2) f3)( 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Тождественная подстановка

1

2 ...n

является

нейтральным элементом

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 ...n

 

 

 

 

 

рассматриваемом множестве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для произвольной подстановки f=

1

2 ... n

 

 

 

 

 

 

 

...

симметричный элемент получается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перестановкой строк, т.е. f 1=

1

 

2

 

 

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

...

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Некоммутативность следует из предыдущего примера.

О Группа (Sn, ) называется симметрической группой степени n.

Подгруппа

Пусть − бинарная алгебраическая операция на А.

О Подмножество B A называется замкнутым относительно , если b1,b2 B выполняется b1 b2 B.

O Пусть (G, ) – группа. Подмножество H G называется подгруппой, если H само является группой относительно .

2

Т.е. (H, ) – подгруппа, если

1.Операция является замкнутой:a,b H выполняется a b H .

2.e H

3.Каждый элемент множества H имеет симметричный элемент:

a H a' H a a' a' a e

Примеры

1.Тривиальные подгруппы группы (G, ): ({e}, ) и (G, ).

2.(Z,+) – подгруппа группы (Q,+).

3.SL(n,R) – подгруппа группы GL(n,R). SL(n,R) – специальная линейная группа матриц порядка n c определителем равным 1.

Циклические группы

О Пусть (G, ) – мультипликативная группа, а G – элемент группы. Если g G

можно представить в виде g=an, где n Z, то G называется циклической группой с образующим элементом а.

Обозначение <a> .

 

def

Т.е.

G = <a> { an n Z }.

Аналогично, для аддитивной группы (G, +).

def

G = <a> { na n Z },

в данном случае все элементы группы это целочисленные кратные образующего элемента

а.

Примеры

1)(Z, ) − циклическая аддитивная группа с образующим элементом 1.

2)(C(n), ) − группа корней n-ой степени из 1 − циклическая мультипликативная

группа с образующим элементом, получаемым при k 1, т.е. z1.

То, что (C(n), ) − группа, следует из свойств корней n-ой степени из 1.

Изоморфизм групп

3

~

ОГруппы (G, ) и (G, ) назовем гомоморфными, если существует отображение

~

f (а b) f (a) f (b).

Отображение f называется при этом

f :G G такое, что a,b G

гомоморфным отображением или гомоморфизмом.

 

 

 

Пример Отображение f (x) ex является гомоморфизмом из

(R; ) в

(R \{0},). Это

следует из справедливости равенства ex y ex ey.

 

 

 

~

 

 

 

отображение

О Группы (G, ) и (G, ) назовем изоморфными, если существует

~

f :G G такое, что

1.a,b G f (а b) f (a) f (b).

2.f – биективное отображение.

Отображение f называется при этом изоморфным отображением или изоморфизмом.

~

Обозначение (G, ) (G, ).

Т.е. можно сказать, что изоморфизм − это биективный гомоморфизм.

Примеры

1) Отображение f (x) ex является изоморфизмом из (R; ) в (R ;). (R

множество положительных действительных чисел). Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).

2) Комплексные числа определялись как упорядоченные пары действительных чисел. Множество пар вида (x,0) отождествлялись с множеством действительных чисел R .

Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.

3) Группа симметрий правильного треугольника изоморфна симметрической группе степени 3 (S3 , ).

Построим изоморфное отображение. Каждому преобразованию треугольника

 

1

2

3

 

 

 

 

поставим в соответствие подстановку

 

 

 

 

 

, где

i

– номер вершины i после

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

преобразования.

Тождественное преобразование 1 2 3 ,

1 2 3

4

поворот на угол 120°

1 2

3

 

,

 

 

 

 

 

 

 

3

1

2

 

 

 

 

 

 

поворот на угол 240°

1 2

3

 

 

 

 

,

 

 

2

3

 

 

 

 

1

 

отражение относительно 1-1'

1 2

3

 

 

 

 

,

 

 

 

3

 

 

 

1

2

 

отражение относительно 2-2'

1 2

3

 

,

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

1

 

отражение относительно 3-3'

1 2

3

 

 

 

 

 

 

.

 

 

2

1

3

 

 

 

 

 

 

Композицию преобразований треугольника можно заменить на композицию соответствующих подстановок. Так композиция поворота на 120° и отражения относительно

 

 

 

 

 

 

1 2

3

1 2

3

 

высоты 1-1' соответствует композиции подстановок

и

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

2

1 3

2

 

120° 1-1'

1 2 3

 

1 2 3

1 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

=3-3'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 2

 

1 3 2

 

2 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие свойства изоморфизма

 

 

 

 

 

~

 

~

− изоморфизм. Тогда

 

 

 

Пусть (G, ) (G, ) и

f :G G

 

 

 

1)

Если e

− нейтральный элемент в (G, ), то

f (e)

 

 

~

− нейтральный элемент в G

относительно ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть u G . Докажем, что u f (e) u.

 

 

 

 

Пусть a f 1(u). Тогда

 

f (a) f (e) f (a e) f (a) u .

 

 

 

Аналогично доказывается f (e) u u.

 

 

 

 

2)

Если а и a' − взаимно симметричные элементы из G, то

f (a) и f (a')

− взаимно

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

симметричные из G .

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. а и a' −

взаимно симметричные элементы из G, то a a' a' a e, где e −

нейтральный элемент в G. Действуя на все элементы этого равенства функцией f

, получаем

5

требуемое равенство: f (a a') f (a' a) f (e)

f (a) (a') f (a') f (a) f (e) f (a) и

~

 

f (a') − взаимно симметричные в G .

 

Теорема Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка n.

Доказательство: Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом a отображается взаимно однозначно на аддитивную группу (Z, ),

если каждому элементу ak (если группа мультипликативная) или ka (если группа

аддитивная) этой группы ставится в соответствие число

k . Это

отображение является

изоморфизмом.

 

 

 

 

 

 

 

Если рассматривается конечная мультипликативная циклическая группа G порядка n

с образующим элементом a, то,

рассматривая мультипликативную группу корней n-ой

степени из единицы (С(n), ) и

обозначая z cos

2

isin

2

,

изоморфизм строится

 

 

 

1

n

 

n

 

 

 

 

 

сопоставлением элементу ak группы G числа z1k C (n).

Теорема (Кэли) Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n (Sn , ).

Алгебраические структуры с двумя бинарными алгебраическими операциями

Кольцо

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

О Кольцом называется непустое множество K, на котором заданы 2 бинарные алгебраические операции + (сложение) и (умножение), удовлетворяющее условиям:

1)(K;+) – абелева группа.

2)(K; ) – полугруппа.

3)умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.a,b,c K (a b) c a c b c (правая дистрибутивность)

c (a b) c a c b (левая дистрибутивность)

Обозначение (K; ,).

6

Структура (K;+) называется аддитивной группой кольца, (K; ) – мультипликативной полугруппой.

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Замечание Чтобы проверить, что какое-то множество с 2 бинарными операциями является кольцом, нужно:

1.Проверить, что эти операции являются алгебраическими;

2.Проверить выполнение 6 аксиом кольца:

1) + ассоциативная операция:

a,b,c K (a b) c a (b c).

2)+ коммутативная операция:

a,b K a b b a

3)В K существует нулевой элемент:

0 K a K a 0 0 a a.

4) Каждый элемент множества K имеет противоположный элемент:

a K a K a ( a) ( a) a 0.

5) ассоциативная операция:

a,b,c K (a b) c a (b c).

6) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

a,b,c K (a b) c a c b c, c (a b) c a c b.

Простейшие свойства кольца

1.В кольце (K; ,) ! нулевой элемент.

2.Каждый элемент кольца (K; ,) имеет единственный противоположный элемент.

3.В произвольном кольце (K; ,) разрешимы уравнения вида: a+x=b.

Действительно, уравнение имеет решение x = −a +b.

4. В кольце (K; ,)можно определить операцию вычитания:

def

a − b a +(− b) , a,b K ,

7

5. В кольце (K; ,) можно определить целочисленное кратное произвольного элемента:

nа, a K n Z .

В кольце можно определить натуральную степень произвольного элемента:

аn, a G n N .

Примеры колец

1.(Z; ,),(Q; ,),(R; ,) образуют бесконечные коммутативные кольца с единицей

относительно обычных операций сложения и умножения.

2.Множество {0}, состоящее из одного элемента 0, и операциями

сложения и умножения, заданными формулами: 0+0=0, 0 0=0, образует кольцо, называемое

нулевым кольцом.

3.Множество C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b], функций с

операциями + и , определенными следующим образом:

( f g)(x) f (x) g(x),

( f g)(x) f (x) g(x),

образует бесконечное коммутативное кольцо с единицей.

4.Множество квадратных матриц с комплексными элементами (Mat(n,C),+, ) бесконечное некоммутативное кольцо с единицей.

5.Множество многочленов (С[x],+, ) бесконечное коммутативное кольцо с

единицей.

Контрольные вопросы 1. Приведите свои примеры а) группы и подгруппы, б) кольца.

8