Лекция Алгебраические структуры 3 МО-1

Примеры колец (продолжение)

Кольцо битовых строк

Рассмотрим множество битовых строк (последовательностей длины n, состоящих из

доказательству этих свойств для битовых строк длиной 1, которое проводится прямыми вычислениями.

Т.о., множество битовых строк с операциями , является кольцом, которое обозначается {0,1}n, , . Это кольцо является конечным коммутативным и с единицей.

Сравнения. Кольцо классов вычетов

О Пусть m N, m >1. Два целых числа a,b Z назовем сравнимыми по модулю m, если они при делении на m дают одинаковые остатки. m модуль сравнения.

Обозначение: a b (mod m).

Итак, a b (mod m) q1. q2, r Z, 0 r m 1 такие, что a = m q1+ r, b = m q2+ r.

Например, 3 13 (mod 5), 4 6 (mod 5).

1

Замечание Отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности на множестве целых чисел Z.

О Классом вычетов r по модулю m (0 r m 1) назовем множество всех целых чисел, сравнимых с r по модулю m или которые при делении на m дают остаток r.

Для фиксированного модуля m всё множество Z делится на m классов вычетов:

{0,1,...,m 1}. При этом Z=0 1 ... m 1.

Множество классов вычетов по модулю m будем обозначать Zm.

Замечание Поскольку сравнимость по модулю m является отношением эквивалентности на множестве целых чисел Z, то классы вычетов по модулю m представляют собой классы эквивалентности.

Пример Рассмотрим Z3. Z3 = {0,1,2}. 0 {0, 3, 6, 9,...}, 1 {.., 8, 5, 2,1,4,7,10,...},

2 {.., 7, 4, 1,2,5,8,11,...}.

На множестве классов вычетов по модулю m Zm можно ввести операции сложения и умножения классов вычетов.

def

k l k2 l2 , где k2 k,l2 l

def

Например, Для Z5 3 4 3 4 2 (надо сложить 3 и 4, поделить на 5, в качестве суммы взять остаток от деления).

def

Аналогично, 2 4 2 4 3 (умножаем 2 на 4, делим на 5, в качестве произведения берем остаток от деления).

2

Теорема Множество классов вычетов Zm с введенными операциями сложения и умножения является конечным коммутативным кольцом.

Доказательство:

Операции сложения и умножения − алгебраические.

Нулевой элемент – элемент 0.

Для класса вычета k (k 0) противоположным элементом является класс вычетов m k . Для 0противоположный элемент – он сам.

Доказательство коммутативности, ассоциативности операций сложения и умножения классов вычетов, и дистрибутивности умножения относительно операции сложения классов вычетов вытекают из аналогичных свойств сложения и умножения целых чисел.

Примеры Рассмотрим кольца классов вычетов по различным модулям

1. Z2.

Таблицы Кэли для сложения и умножения:

Противоположные элементы:

0=0,

1=1 .

Обратные элементы: 0 1 не существует, 1 1=1

2. Z3.

Таблицы Кэли для сложения и умножения:

3

Противоположные элементы:

0=0,

1=2,

2=1.

Обратные элементы: 0 1 не существует, 1 1=1, 2 1=2.

3. Z4.

Таблицы Кэли для сложения и умножения:

Противоположные элементы:

0=0,

1=3,

2=1,

3=1.

Обратные элементы: 0 1 не существует, 1 1=1, 2 1 не существует, 3 1=3.

О Пусть (K,+, ) кольцо. Делителями нуля назовем такие элементы a, b K, что a 0, b 0, a b = b a = 0.

Пример Z4 кольцо с делителями нуля. 2 делитель нуля.

4

Тело. Поле

О Кольцо с 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом. Коммутативное тело называется полем.

Т.е. (T; , ) – тело, если , – алгебраические операции на Т и выполняются 9 аксиом: 1) + ассоциативная операция:

a,b,c T (a b) c a (b c).

2)+ коммутативная операция:

a,b T a b b a

3)В T существует нулевой элемент:

0 T a T a 0 a.

4)Каждый элемент множества T имеет противоположный элемент:

a T a T a ( a) 0.

5) ассоциативная операция:

a,b,c T (a b) c a (b c).

6) В T существует единица:

1 T,1 0 a T a 1 a 1 a.

7) Каждый ненулевой элемент множества Т имеет обратный элемент:

a T,a 0 a 1 T a a 1 a 1 a 1.

8) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

a,b,c T (a b) c a c b c , c (a b) c a c b

Если к тому же выполняется аксиома: 9) коммутативная операция:

a,b T a b b a,

то тело становится полем.

Обозначать поле будем (P; , ).

Заметим, что

1)(P;+) – коммутативная группа.

2)(P\{0}, ) – коммутативная группа.

3)Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

5

a,b,c P, a (b c) a b a c.

Простейшие свойства поля

1.В поле (P; ,)существуют единственные нуль и единица.

2.Каждый элемент поля (P; ,) имеет единственный противоположный элемент, а

каждый ненулевой элемент имеет единственный обратный.

3. В поле (P; ,)можно определить операцию вычитания:

def

a − b a +(− b) , a,b P,

и операцию деления на ненулевой элемент

def

a : b a b−1 , a,b P, b 0.

4. В произвольном поле (P; ,) разрешимы уравнения вида: a+x=b.

Действительно, уравнение имеет решение x = b−a.

В произвольном кольце (P; ,) разрешимы уравнения вида: a x=b, где а 0.

Действительно, уравнение имеет решение x = b:а.

5. В поле (P; ,) можно определить целочисленное кратное произвольного элемента: nа, a P n Z .

В поле можно определить целую степень произвольного ненулевого элемента:

аn, a P, a 0, n Z

ицелую неотрицательную степень нулевого элемента.

6.В поле нет делителей нуля.

Доказательство:

От противного. Предположим, что аb=0, a 0, b 0.

Т.к. a 0 a 1 . Умножим обе части равенства аb=0 на a 1 .

Получим a 1 аb=a 1 0 b=0.

Примеры полей

1)(Q; ,),(R; ,),(C; ,) − бесконечные поля.

2)({0,1}n , , ) − поле.

3)Теорема Кольцо классов вычетов по простому модулю является полем. Доказательство:

6

Рассмотрим Zp. где р простое число.

Zp={0,1,..., p 1}. Как мы знаем Zp – коммутативное кольцо с единицей. Чтобы доказать, что это поле надо доказать обратимость произвольного ненулевого элемента Zp.

Возьмем a Zp и a 0. Найдем для него обратный элемент.

Рассмотрим следующее множество A ={1 a,2 a,3 a,...,(p 1) a}. Покажем, что оно

совпадает со множеством Zp/{0}. В этом случае найдем во множестве A элемент k a 1, тогда a 1 k .

l mделится на р, либо а делится на р, но это противоречит тому, что а, l, m N, 1 а, l, m

р 1.

2) в A нет 0?

От противного. Пусть в A существует n a 0 n aделится на р. Но т.к. р –

простое число, то либо nделится на р, либо а делится на р, но это противоречит тому, что а, n N, 1 а, n р 1.

Теорема доказана.

Пример тела. Тело кватернионов

Кватернионы можно определить как формальную сумму a+bi+cj+dk ,где a,b,c,d есть четвёрка действительных чисел и i,j,k «мнимые единицы» с вот такой таблицей

умножения: https://math.wikia.org/ru/wiki/Кватернион

7

Контрольные вопросы:

1.Какой порядок имеет поле битовых строк?

2.Является ли множество невырожденных матриц порядка n c действительными элементами полем и почему?

8