Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция Линейные пространства 3 20.05.20 МО-1

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
22.08.2023
Размер:
335.14 Кб
Скачать

a11x1 a1nxn b1,

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x a

mn

x

n

b ,

 

m1 1

 

m

представляет собой линейное многообразие, т.к.

Т Пусть a U линейное многообразие. Вектор a V определяется с точностью

до слагаемого из U т.е. a U

b

U

b

 

a U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что из a U

 

U

 

a U .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как a U

 

 

U x, y U такие, что a x

 

y

 

 

 

a x y U .

b

b

b

Покажем, что из

 

a U a U

 

 

U .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы доказать равенство двух множествa U и

 

 

U , докажем, что каждое из

b

них является подмножеством другого.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a U

 

U ? Рассмотрим x U a x a U .

b

a x

 

a x

 

 

 

x

 

a

 

y

 

U ,

где y x

 

a U .

b

b

b

b

b

b

b

Следовательно, a U b U .

b U a U ? Рассмотрим y U b y b U .

b y a b y a a y b a a z a U , где z y b a U .

Следовательно, b U a U .

Из того, что a U b U и b U a U a U b U .

Тa U U a U

Доказательство:

Покажем, что из a U U a U .

Поскольку a U U , то x U a x U . Возьмем x 0 a 0 a U .

Покажем, что из a U a U U .

11

a U U ?

Рассмотрим x U . a x a U . Поскольку U подпространство, а векторы x,a в нем лежат, a x U a U U.

U a U ?

Рассмотрим x U . x a x a x a U , т.к. x a U . U a U.

a U U

U a U a U U.

Контрольный вопрос:

P, Q линейные подпространства линейного пространства V. Как найти базис в P Q , если P = a1, ,ak , Q = b1, ,bl ?

12