Лекция Линейные пространства 3 20.05.20 МО-1
.pdf
a11x1 a1nxn b1, |
|||||
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x a |
mn |
x |
n |
b , |
|
m1 1 |
|
m |
||
представляет собой линейное многообразие, т.к.
Т Пусть a U линейное многообразие. Вектор a V определяется с точностью
до слагаемого из U т.е. a U |
b |
U |
b |
|
a U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что из a U |
|
U |
|
a U . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Так как a U |
|
|
U x, y U такие, что a x |
|
y |
|
|
|
a x y U . |
|||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что из |
|
a U a U |
|
|
U . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Чтобы доказать равенство двух множествa U и |
|
|
U , докажем, что каждое из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
них является подмножеством другого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
a U |
|
U ? Рассмотрим x U a x a U . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a x |
|
a x |
|
|
|
x |
|
a |
|
y |
|
U , |
где y x |
|
a U . |
|||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
b |
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, a U b U .
b U a U ? Рассмотрим y U b y b U .
b y a b y a a y b a a z a U , где z y b a U .
Следовательно, b U a U .
Из того, что a U b U и b U a U a U b U .
Тa U U a U
Доказательство:
Покажем, что из a U U a U .
Поскольку a U U , то x U a x U . Возьмем x 0 a 0 a U .
Покажем, что из a U a U U .
11
a U U ?
Рассмотрим x U . a x a U . Поскольку U подпространство, а векторы x,a в нем лежат, a x U a U U.
U a U ?
Рассмотрим x U . x a x a x a U , т.к. x a U . U a U.
a U U
U a U a U U.
Контрольный вопрос:
P, Q линейные подпространства линейного пространства V. Как найти базис в P Q , если P = a1, ,ak , Q = b1, ,bl ?
12