7.5.3. Временные характеристики

Временными характеристиками звена или системы называется изменение во времени значений выходной величины при поступлении на вход некоторого типового воздействия (единичный скачок входной величины). Временная характеристика представляет собой графическое решение дифференциального уравнения системы для единичного ступенчатого входного воздействия при нулевых начальных условиях и, следовательно, характеризует динамические свойства системы.

Если в течение всего времени перехода системы из одного устойчивого состояния в другое единичное входное воздействие остается приложенным к звену или системе, то в этом случае временную характеристику принято называть переходной функцией звена или системы. Графическое изображение переходной функции называется переходной характеристикой звена.

7.5.4. Частотные характеристики

Если на вход системы (или отдельного звена) подавать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянной амплитудой и частотой

,

то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебания с той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний. В общем случае входная и выходная величины в комплексной показательной форме запишутся следующим образом:

;,

(7.17)

где и— амплитуды входных и выходных колебаний;—частота колебаний;и— начальные фазы входных и выходных колебаний.

Отношение значений выходной величины системы к значениям входной величины, выраженное в комплексной форме, называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы (АФЧХ):

.

(7.18)

Отношение амплитуд является модулем АФЧХ, а разность фаз является ее фазой.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы не зависит от времени. В этом ее принципиальное отличие от временной характеристики. Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе, то АФЧХ отображает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах. Однако несмотря на то, что АФЧХ отображает только установившиеся процессы в системе, она в полной мере определяет также ее динамические свойства подобно временной характеристике или дифференциальным уравнениям.

Так как

;;,

(7.19)

то при подстановке этих выражений для производных в дифференциальное уравнение системы (7.4) для случая воздействия на нее гармонических колебаний получим:

	(7.20
.

Из этого выражения определяем АФЧХ системы

(7.21)

При сравнении выражений (7.21) и (7.4) видно, что для получения АФЧХ системы не нужно производить каких-либо математических преобразований, а достаточно в передаточной функции системы заменить символна. Обозначив в формуле (7.18)и, получим:

(7.22)

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных колебаний от их частоты называется амплитудно-частотной характеристикой системы.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) является модулем АФЧХ

(7.23)

Зависимость разности фаз выходных и входных колебаний от частоты называется фазо-частотной характеристикой системы

(7.24)

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) является аргументом АФЧХ. Так как

,

,

то, разделив оба полинома на вещественную и мнимую части, получим:

; .

С учетом этих зависимостей АЧХ системы выразится как

(7.25)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на сопряженный множитель , получим:

.

Обозначив

,	(7.26)
,	(7.27)

имеем:

(7.28)

Величина называется вещественной частотной характеристикой системы. Величина называется мнимой частотной характеристикой системы.

Таким образом, получаем всего пять частотных характеристик: амплитудно-фазовую , амплитудно-частотную , фазо-частотную , вещественную частотную и мнимую частотную . Между этими характеристиками, кроме зависимостей (7.21)-(7.28), имеются очевидные связи:

;	(7.29)
	(7.30)

Частотные характеристики широко используются в инженерной практике при анализе и расчете АСР. Особым их достоинством является то, что они могут быть получены экспериментальным путем, что особенно важно для систем, аналитические уравнения которых не представляется возможным получить из-за ее сложности или мало изученности объекта с точки зрения математического описания технологического процесса. В связи с этим для оценки динамических свойств замкнутых систем используются их АФЧХ в разомкнутом состоянии.

Особенно широко для инженерных расчетов используются частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе. Метод логарифмических частотных характеристик является одним из основных методов анализа и синтеза АСР. Это связано с тем, что при переходе к логарифмам операции умножения значений величин (чисел) заменяются более простыми - операциями сложения их логарифмов и, кроме того, крутизна зависимостей в логарифмическом масштабе существенно уменьшается. Это дает возможность аппроксимировать частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе, в виде ломаных линий из прямолинейных отрезков.

Логарифмируя выражение (7.21) АФЧХ, получаем:

;

(7.31)

Логарифмической единицей усиления или ослабления мощности сигнала при прохождении его через какое-либо устройство при выражении десятичным логарифмом значения отношения мощности на выходе к мощности на входев технике принят бел ().

Мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, поэтому с учетом (7.22) получим:

,

Так как бел является достаточно крупной единицей усиления (ослабления) мощности (увеличение мощности в 10 раз равно одному белу), то в теории автоматического регулирования за единицу измерения обычно используют децибел (дБ), .

С учетом этого можем записать:

.

Эта величина, обозначаемая

,

(7.32)

называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой ЛАЧХ.

Фазо-частотная характеристика , построенная в полулогарифмическом масштабе [в координатах: угол(в градусах или радианах) и частота в] называетсялогарифмической фазо-частотной характеристикой ЛФЧХ.

За единицу измерения частоты принимается логарифмическая единица— декада.

Декадой называется интервал частот между какой-либо частотой и ее десятикратным значением. В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду имеет длину, равную:

Так как с помощью частотных характеристик можно решать множество практических задач по анализу, синтезу и определению оптимальных параметров настроек автоматических систем регулирования, важно знать частотные характеристики типовых звеньев и их соединений, наиболее широко применяемых для улучшения динамических свойств систем.

В таблице 7.3 приведены передаточные функции, переходные характеристики, ЛАЧХ и ЛФЧХ элементарных звеньев.

Таблица 7.3