y=gamсdf(x,a,b) – расчет значения функции распределения гаммараспределения с параметрами a, b в точке x .

y=normсdf(x,a,sigma) – расчет значения функции распределения нормального распределения с параметрами a , σ в точке x , a – математическое ожидание, σ – среднее квадратичное отклонение.

y=tсdf(x,k) – расчет значения функции распределения распределения Стьюдента с k степенями свободы в точке x .

y=unifсdf(x,a,b) – расчет значения функции распределения равномерного распределения в промежутке (a, b) распределения в точке x .

Для расчета значений гамма-функции в Matlab имеется функция y=gamma(x).

1.3.Порядок выполнения работы

1.3.1.Для каждого распределения п. 1.2.8 вывести в одно графическое окно два графика плотности вероятности. Один из графиков плотности вероятности получить по собственной программе, написанной для расчета значений функции плотности вероятности по формулам п. 1.2.8, второй – с использованием функций системы Matlab. Исследовать их зависимость от параметров распределений.

1.3.2.Для каждого распределения п. 1.2.8 вывести в отдельное графическое окно график функции распределения с использованием функций системы Matlab. Исследовать их зависимость от параметров распределений.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1.Цель работы

2.1.1.Изучение многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики.

2.1.2.Исследование многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики с помощью средств Matlab.

2.2. Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых многомерных распределений

2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение N ( A, R)

Непрерывный случайный вектор ξ = (ξ1 ,...,ξm ) называется распределенным по нормальному закону , если его плотность вероятности имеет вид

делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век-

тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются

соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век-

тора ξ .

Уравнение

ϕ( X ) = ( X − A)T R−1 ( X − A) = c

определяет в R m гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид. При c = m + 2 он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределения. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n-мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же математическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное нормальное распределение. Многомерный ( m -мерный) объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы:

V = (m + 2)m / 2 π m / 2 R / Γ(m2 +1) .

При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диагональная).

2.2.2. Двухмерное нормальное распределение

Если ξ = (ξ1,ξ2 ) – двухмерный случайный вектор, распределенный по нор-

ϕ(X )= (X − A)T R−1 (X − A) =

=R2,2 (x1 − a1 )2 − 2R1,2 (x1 − a1 )(x2 − a2 ) + R1,1 (x2 − a2 )2 .

Если здесь обозначить R1,1 =σ12 , R2,2 =σ22 и выразить коэффициент ковариа-

ции R1,2 = R2,1 = cov(ξ1 ,ξ2 ) через коэффициент корреляции r1,2 по формуле

R1,2 = R2,1 = r1,2σ1σ2 ,

то функцию ϕ( X ) можно представить в виде

а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде

Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые уравнением

fξ (x1, x2 ) = c1

или уравнением

ϕ(x1, x2 ) = c ,

где c1 и c – некоторые константы,

представляют собой эллипсы в плоскости x1ox2 . Уравнение

ϕ(x1, x2 ) = 4

определяет эллипс рассеяния, площадь которого

S = 4π R = 4π R1,1R2,2 − R2,1R1,2 .

Для двухмерного нормального распределения функция регрессии ξ2 на ξ1

определяется выражением

x2 = a2 + r1,2 σ2 (x1 − a1 ) ,

σ1

а функция регрессии ξ1 на ξ2 – выражением