ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7. ПОЛУЧЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

7.1.Цель работы

7.1.1.Изучение задачи получения интервальных оценок параметров распре-

делений.

7.1.2.Приобретение навыков получения интервальных оценок параметров распределений в системе Matlab.

7.2.Теоретические положения

Интервальные оценки параметров распределений

Доверительным интервалом для некоторого параметра θ называется интервал (θн,θв ) , накрывающий параметр θ с доверительной вероятностью γ :

Задача получения интервальной оценки параметра распределения заключается в определении по выборке (x1, x2 ,..., xn ) нижней и верхней границ интер-

вала θн, θв . Доверительная вероятность γ выбирается близкой к 1 из набора чи-

сел {0,9; 0,95; 0,975}.

Для придания задаче однозначности уравнение (7.1) представляют в виде двух уравнений

где α1 +α2 =1 −γ .

Доверительный интервал называется симметричным, если в (7.2) α1 =α2 =α = (1−γ ) / 2 . Таким образом, симметричный доверительный интервал удовлетворяет следующей системе уравнений:

Для построения симметричного доверительного интервала для неизвестного параметра θ обычно используется статистика, представляющая собой точеч-

ную оценку θ этого параметра, или некоторая функция точечной оценки g = g(θ ) . Должен быть известен закон распределения этой статистики, то есть плотность вероятности f g (x) . В силу того что параметр θ нам неизвестен, эта плотность вероятности будет зависеть от θ , то есть нам известна плотность вероятности статистики с точностью до параметра f g (x,θ) . Для построения до-

верительного интервала для параметра θ строят «доверительный интервал» для статистики g , то есть находят g н , g в из системы уравнений

Решение этой системы уравнений относительно g н , gв эквивалентно решению системы уравнений (7.3) относительно θн , θв .

Приведем доверительные интервалы для некоторых параметров.

7.2.1. Доверительный интервал для математического ожидания a нор-

мальной генеральной совокупности N (a,σ 2 ) при известной дисперсии σ 2

Рис. 7.1. Иллюстрация 1001−2γ -процентного отклонения нормального распределения

7.2.2. Доверительный интервал для математического ожидания a нор-

мальной генеральной совокупности N (a,σ 2 ) при неизвестной дисперсии

σ 2

метричности распределения Стьюдента T1 (n −1) величина t1−γ имеет ту же

2

графическую иллюстрацию, что и величина u1−γ (рис. 7.1).

2

7.2.3. Доверительный интервал для дисперсии σ 2 нормальной гене-

ральной совокупности N (a,σ 2 ) при известном математическом ожида-

нии a

(рис. 7.2).

7.2.4. Доверительный интервал для дисперсии σ 2 нормальной гене-

H1 (n −1) (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Иллюстрация 1001−2γ - и 1001+2γ -процентных отклонений распределения хи-квадрат

7.2.5. Доверительный интервал для вероятности появления случайного события A

Пусть выполнено n независимых испытаний Бернулли, в результате которых событие А появилось m раз. Границы доверительного интервала для вероятности p = P(A) события A определяются выражением

частота события, q =1− p . При знаке минус эта формула дает нижний довери-

тельный предел, а при знаке плюс – верхний.