ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ: КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА О МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
9.1.Цель работы
9.1.1.Изучение задачи и методов обработки результатов косвенных измере-
ний.
9.1.1.Исследование в системе Matlab задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов.
9.2.Теоретические положения
9.2.1.Классическая задача о методе наименьших квадратов (МНК)
Классическая задача оценивания векторных параметров по косвенным измерениям предполагает, что результаты измерений (показания приборов) zi
функционально связаны с параметрами θ1 ,Κ ,θm вектором параметров:
zi =ψi (θ1 ,Κ ,θm , xi,1 ,Κ , xi,l ) + ei , i = |
|
, |
(9.1) |
1, M |
где ψi (θ1 ,Κ ,θm , xi,1 ,Κ , xi,l ) – некоторые известные скалярные функции; ei –
ошибки измерений; xi,1 ,Κ , xi,l – входные переменные, которые измеряются точно или отсутствуют.
Требуется по измерениям zi найти оценки θ1,Κ ,θm неизвестных параметров θ1 ,Κ ,θm .
Задача в таком виде была сформулирована Гауссом. Для ее решения Гаусс предложил свой знаменитый метод наименьших квадратов (МНК).
В настоящее время эта задача формулируется и решается с использованием векторно-матричного подхода. Зависимости (9.1) записывают в векторной форме:
Z = Ψ(Θ, X ) + E , |
(9.2) |
где |
|
|
Z T = (z1 ,Κ , zM ) , |
|
|
ΨT (Θ, X ) = (ψ1 (Θ, X1 ),Κ ,ψ M (Θ, X M )), |
|||||||||
ΘT = (θ |
1 |
,Κ ,θ |
m |
) ; X = (X |
1 |
,Κ , X |
M |
) ; ET = (e ,Κ , e |
M |
) . Вектор ошибок E |
счи- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
тается распределенным по нормальному закону N M (0, RE ) . |
|
||||||||||||||
Требуется по результатам измерений Z , |
X найти оценку Θ вектора пара- |
||||||||||||||
метров Θ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После линеаризации функции Ψ(Θ, X ) в окрестности некоторой опорной |
|||||||||||||||
точки Θ0 |
получают МНК-оценку в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ΘNK = Θ0 + (QT RE−1Q)−1 QT RE−1 (Z − Ψ(Θ0 , X )) , |
(9.3) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
|
dΨ(Θ0 , X ) |
, |
|
|
(9.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dΘ0 |
|
|
|
||||
а ковариационная матрица оценки определяется выражением
RΘ) N K = (QT RE−1Q)−1 .
9.2.2. Оценивание координат объекта по измерениям пеленгов
Полученную оценку (9.3) используем в задаче оценивания декартовых координат объекта на плоскости xoy угломерным способом в многопозиционных локационных системах. Из M базовых точек (позиций) A1 = (x1 , y1 ) ,…,
AM = (xM , yM ) измеряются углы на объект, в результате чего получают значе-
ния углов α1 ,Κ ,αM (рис. 9.1). Величины α1 ,Κ ,αM независимы и распределе-
ны по нормальному закону N (ai ,σ 2 ) , где ai – точное значение i -го угла, σ 2 –
дисперсия ошибок измерений углов. Координаты xi , yi базовых точек будем
считать известными. По имеющимся измерениям необходимо оценить вектор координат объекта ΘT = (xc , yc ) .
Опишем алгоритм расчета МНК-оценки (9.3). Соотношения (9.1) в данном случае имеют вид
|
αi = arctg |
yc − yi |
|
+ ei , i = |
|
|
, |
(9.5) |
|||
1, M |
|||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
xc − xi |
|
||||||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ψi (xc , yc )= arctg |
|
yc − yi |
, i = |
|
. |
(9.6) |
||||
|
1, M |
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
xc − xi |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.1. Графическая иллюстрация задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов
В векторной форме записи (9.2) будем иметь следующие обозначения:
Z T = (αi ) , ΨT (xc , yc ) = (ψi (xc , yc )) , ET = (ei ) , i =1,M .
Поскольку ошибки измерений ei независимы и имеют одну и ту же дисперсию
σ 2 , то ковариационная матрица вектора E равна