1. Характеристика и возмоности пакета Mathcad. Особенности документа Mathcad MATHCAD - универсальный математический пакет , предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - программирование на общепринятом математическом языке, который позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Преимущества MATHCAD состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков,

таблиц и математических формул. В пакете широко используются встроенные функции. К основным встроенным функциям относятся тригонометрические и обратные, гиперболические и обратные,

экспоненциальные и логарифмические, статистические, Фурье, Бесселя, комплексных переменных. Всего в среде MATHCAD пять единиц измерения: длина, масса, время, заряд и абсолютная температура. Пакет

MATHCAD предоставляет широкие графические возможности. Кроме того, здесь можно

использовать чертежи и рисунки, полученные в других графических системах.

2. Основные элементы математических выражений MathCAD К основным элементам математических выражений MathCAD относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры. Операторы - элементы MathCAD , с помощью которых можно создавать математические выражения . К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д. Оператор определяет: действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов; сколько, где и какие операнды должныббыть введены в оператор. (Операнд - число или выражение, на которое действует оператор.) (=, := →  = )- эти пиктограммы для ввода знаков присваивания и для задания собственных операторов

3. Типы данных. К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа. Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы в MathCAD представляют собой набор латинских или греческих букв и цифр. Системные переменные: пи, е, бесконечность, %, origin, tol. Интервальная переменная задается в формате :=начальное значение, начальное значение+шаг .. конечное значение.

4. Функции в Mathcad делятся на две группы: функции пользователя, встроенные функции. Определение функций пользователя в Mathcad полностью совпадают с принятыми в математике правилами. Вводится имя функции. В общем случае оно может быть совершенно произвольным, хотя определенные ограничения все-таки имеются. После имени функции следует ввести пару круглых скобок, в которых через запятую нужно прописать все переменные, от которых зависит функция. Введите оператор присваивания «:=». На месте черного маркера справа от введенного оператора присваивания задайте вид вашей функции. В выражение определяемой функции могут входить как непосредственно переменные, так и другие встроенные и пользовательские функции. Условная функция if. Эта функция записывается в виде if ( < логич. выраж. > , < ариф.выраж.1> , < ариф.выраж.2 > ) Условный оператор.[1] if [2] В поле 2 вводится логическое выражение. В поле 1 вводится арифметическое выражение, значение которого используется, если проверяемое логическое выражение принимает значение 1. Условный оператор может находиться только внутри тела программы функции.

5. Виды массивов в Mathcad. Способы создания массивов в Mathcad В основном используются массивы двух типов: одномерные (векторы) и двумерные (матрицы). Каждый элемент вектора или матрицы имеет порядковый номер в массиве. Отсчет номеров начинается с того значения, которое содержится в системной переменной ORIGIN. Векторы и матрицы можно задавать различными способами: с помощью кнопки с изображением матриц на наборной панели математических инструментов; как переменную с индексами перечислением элементов массива с разделение запятой; с помощью аналитического выражения.

6. Декартова система координат. Большинство функциональных зависимостей строят в декартовых СК. Такими графиками удобно показывать закон изменения какой-нибудь величины относительно другой. По точкам. В этом случае задаются два столбца значений х и у и уже по ним на плоскости строят точки, соответствуюшие этим столбцам. Столбцы задаются нажатием на кнопку с изображением матрицы на панели Matrix. Что бы получить сам график нужно нажать на кнопку с изображением осей на панели Graph. В появившейся рамочке графика будут 2 незаполненых черных прямоугольничка - маркера. В один маркер, отвечающий за ординату, нужно поместить название матрицы-столбца, который должен быть отложен по оси ОУ. В другой (нижний) маркер помещают название другого столбца. Далее жмем enter и смотрим, что получилось.

Графики строятся еще и по функциональной зависимости. Записывается функция вида F=F(x) и в пустующие маркеры графической области вносятся соответственно название функции F(x) и ее аргумент.

7. Функции для решения уравнения в MathCAD Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root. root( f(х1, x2, …), х1, a, b ) Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

8. Нахождение корней полинома. Для нахождения корней выражения, имеющего вид v_nxⁿ + ... + v₂x² + v₁x + v₀, лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.Polyroots(v) Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома Аргументы: v - вектор, содержащий коэффициенты полинома.

9. Назовите функции для решения систем уравнений в MathCAD Для численного решения линейных систем уравнений в MathCAD имеется специальная функция : lsolv(A,B) Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида А x X =B, выдавая решение - вектор X. А - матрица коэффициентов размерности nxn;В - вектор свободных членов размерности n ; X - вектор неизвестных пока решений. Эквивалентной для MathCAD формой представления систем линейных уравнений является матричная форма. Представленные таким образом системы можно решать как символьно, так и численно.

10. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ) называется система вида: a₁₁x₁+a₁₂x₁+…+a_1mx_m=b₁; a₂₁x₁+a₂₂x₁+…+a_2mx_m=b₂ ; ……; a_n1x₁+a_n2x₁+…+a_nmx_m=b_n. В матричном виде систему можно записать как Ax=b где – Aматрица размерности nm, b – вектор с m проекциями. Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve, обращение к которой имеет вид: lsolve(А,b), где А – матрица системы, b – вектор правой части.

11. Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее: Напечатать слово Given. Это сообщает Mathcad , что далее следует система уравнений. Можно напечатать Given в любой комбинации символов верхнего и нижнего регистра и в любом шрифте. Теперь напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьться, что для ввода знака = используется [Ctrl]=.Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений . Аргументами функции являются переменные, относительно которых система решается. Нажмать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отображает символьный знак равенства. Щёлкнуть мышью на функции Find. Mathcad отображает решения для системы уравнений справа от стрелки. Если функция Find имеет один аргумент, Mathcad возвращает один результат. Если Find имеет более одного аргумента, Mathcad возвращает вектор результатов. Например, Find(x, y) возвращает вектор, содержащий выражения для x и y , который является решением системы уравнений. Если система является переопределенной нелинейной, то функция Find не будет возвращать решение. В этом случае используется функции Minerr вместо Find. Minerr будет возвращать ответ, который минимизирует невязку при заданных ограничениях.

12. К операциям с выделенными выражениями относятся следующие 1) Evaluate (Вычислить) — преобразовать выражение с выбором вида преоб разований из подменю, 2)Simplify (Упростить) — упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т д, 3)Expand (Разложить — раскрыть выражение [например, для по степеням) (Х+ Y) (Х- Y) получаем X²- Y²}, 4)Factor (Разложить — разложить число или выражение на множители [например X²-Y² даст (X+ Y) (X-Y)], Collect (Разложить — собрать слагаемые, подобные выделенному по подвыражению) выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное от носительно выбранного выражения), Polynomial Coefficients — найти коэффициенты полинома по заданной (Полиномиальные переменной, приближающего выражение, коэффициенты) в котором эта переменная использована К числу операций с выделенными переменными относятся Solve (Решить — найти значения выделенной переменной, относительно переменной) при которых содержащее ее выражение становится равным нулю (решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной); Substitute (Заменить — заменить указанную переменную содержимым буфера обмена; Differentiate — дифференцировать все выражение, содержа- (Дифференцировать выделенную переменную по отношению по переменной) к этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы); Integrate (Интегрировать — интегрировать все выражение, содержащее по переменной) выделенную переменную, по этой переменной; Expand to Series... — найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделен ной переменной; Convert to Partial Fraction — разложить на элементарные дроби выражение (Разложить на элементарные дроби) которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной. Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Matrix (Матричные операции ), которая имеет свое подменю со следующими операциями : Transpose (Транспонировать) — получить транспонированную матрицу; Invert (Обратить) — создать обратную матрицу; Determinant (Определитель) — вычислить детерминант (определитель) матрицы.

13. Порядок описания программы-функции Mathcad . Для ввода в рабочий документ описания программы-функции необходимо выполнить следующие действия: 1. Ввести имя программы-функции и список формальных параметров, заключенный в круглые скобки; 2. Ввести символ “Shift + :” - на экране отображается как “: =”; 3. Открыть наборную панель Программирования и щелкнуть кнопкой “Add line” . На экране появится вертикальная черта и вертикальный столбец с двумя полями ввода для ввода операторов, образующих тело программы-функции; 4. Перейти в поле 1 ( щелкнув на нем мышью или нажав клавишу [Tab] ) и ввести первый оператор тела программы-функции. Так как самое нижнее поле всегда предназначено для определения возвращаемого программой значения, то поля ввода для дополнительных операторов открываются с помощью щелчка на кнопке “Add line” панели программирования. При этом поле ввода добавляется внизу выделенного к этому моменту оператора. Для удаления того или иного оператора или поля ввода из тела программы-функции, нужно заключить его в выделяющую рамку и нажать клавишу [Delete]; 5. Заполнить самое нижнее поле ввода ( поле 2 ), введя туда выражение, определяющее возвращаемое через имя программы-функции значение. В приведенном примере формальным параметром является простая переменная x , тело программы включает два локальных оператора присваивания (см. следующий пункт) и значение переменной z определяет возвращаемый через имя функции результат выполнения программы-функции. Локальный оператор присваивания. Для задания внутри программы значения какой-либо переменной используется так называемый локальный оператор присваивания, имеющий вид: < имя - переменной > <-- < выражение >

14. Операторы цикла (Add line, if, othrwise).Чтобы создать программный модуль, например, представленный в предыдущем разделе 1. Введите часть выражения, которая будет находиться слева от знака присваивания и сам знак присваивания. 2. При необходимости вызовите на экран панель инструментов Programming ( Программирование ) 3. Нажмите на этой панели кнопку Add Line (Добавить линию).4. Если приблизительно известно, сколько строк кода будет содержать программа, можно создать нужное количество линий повторным нажатием кнопки Add Line (Добавить линию) соответствующее число раз. 5. В появившиеся местозаполнители введите желаемый программный код, используя программные операторы. Условные операторы ( if , otherwise )Действие условного оператора if состоит из двух частей. Сначала проверяется логическое выражение (условие) справа от него. Если оно истинно, выполняется выражение слева от оператора if. Если ложно - ничего не происходит, а выполнение программы продолжается переходом к ее следующей строке. Вставить условный оператор в программу можно следующим образом:1. Если необходимо, введите левую часть выражения и оператор присваивания.2. Создайте новую строку программного кода, нажав на панели Programming ( Программирование ) кнопку Add Line (Добавить строку).3. Нажмите кнопку условного оператора if.4. Справа от оператора if введите условие. Пользуйтесь логическими операторами , вводя их с панели Boolean (Булевы операторы ).5. Выражение, которое должно выполняться, если условие оказывается выполненным, введите слева от оператора if.6. Если в программе предусматриваются дополнительные условия, добавьте в программу еще одну строку нажатием кнопки Add Line и введите их таким же образом, используя оператор if или otherwise . Оператор otherwise используется совместно с одним или несколькими условными операторами if и указывает на выражение, которое будет выполняться, если ни одно из условий не оказалось истинным.

15. Операторы цикла (for, while, break)В языке программирования MathCAD имеются два оператора цикла: for и while. Первый из них дает возможность организовать цикл по некоторой переменной, заставляя ее пробегать некоторый диапазон значений. Второй создает цикл с выходом из него по некоторому логическому условию. Чтобы вставить в программный модуль оператор цикла: 1. Создайте в программном модуле новую линию( Add line).2. Вставьте один из операторов цикла for или while нажатием одноименной кнопки на панели Programming 3. Если выбран оператор for, то вставьте в соответствующие местозаполнители имя переменной и диапазон ее значений, а если while - то логическое выражение, при нарушении которого должен осуществляться выход из цикла. 4.В нижний местозаполнитель введите тело цикла, т. е. выражения, которые должны выполняться циклически.5. При необходимости дополните программу другими строками и введите в них нужный код. Диапазон значений переменной в условии цикла for можно задать как с помощью диапазона ранжированной переменной, так и с помощью вектора.

Иногда необходимо досрочно завершить цикл, т. е. не по условию в его заголовке, а в некоторой строке в теле цикла. Для этого предназначен оператор break.

16. Операторы цикла( continue, return, on error).Иногда необходимо досрочно завершить цикл, т. е. не по условию в его заголовке, а в некоторой строке в теле цикла. Для этого предназначен оператор break. Чтобы четче обозначить границы завершения тела цикла, в его конце может использоваться дополнительная строка с оператором continue, который вводится одноименной кнопкой панели Programming. Если для определения переменной или функции применяется программный модуль, то его строки исполняются последовательно при вычислении в документе этой переменной или функции. Соответственно, по мере выполнения программы рассчитываемый результат претерпевает изменения. В качестве окончательного результата выдается последнее присвоенное значение. Чтобы подчеркнуть возврат программным модулем определенного значения, можно взять за правило делать это в последней строке программного модуля. Вместе с тем, можно прервать выполнение программы в любой ее точке (например, с помощью условного оператора ) и выдать некоторое значение, применив оператор return. В этом случае при выполнении указанного условия значение, введенное в местозаполнитель после return, возвращается в качестве результата, а никакой другой код больше не выполняется. Вставляется в программу оператор return с помощью одноименной кнопки панели Programming ( Программирование ).Программирование в MathCAD позволяет осуществлять дополнительную обработку ошибок. Если пользователь предполагает, что выполнение кода в каком-либо месте программного модуля способно вызвать ошибку (например, деление на ноль), то эту ошибку можно перехватить с помощью оператора on error. Чтобы вставить его в программу, надо поместить линии ввода в ней в нужное положение и нажать кнопку с именем оператора on error на панели Programming ( Программирование ). В результате появится строка с двумя местозаполнителями и оператором on error посередине. В правом местозаполнителе следует ввести выражение, которое должно выполняться в данной строке программы. В левом - выражение, которое будет выполнено вместо правого выражения, если при выполнении последнего возникнет ошибка.

17. Постановка задачи интерполяции

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x_i = х₀, х₁, . . ., х_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(x₀) = y₀, f(x₁) = y₁, . . ., f(x_n) = y_n. (1)

Требуется построить функцию F (х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т. е. такую, что

F(x₀) = y₀, F(x₁) = y₁, . . ., F(x_n) = y_n. (2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(x_i, y_i) (i = 0, 1, ..., n).В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F (х) искать полином j (х) (интерполяционный полином) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (2), т. е. такой, что

j (x₀) = y₀, j (x₁) = y₁, . . ., j (x_n) = y_n. (3)

Полученную интерполяционную формулу

(4)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции ¦ (х) для значений аргумента х, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполяцией функций.

Различают два вида интерполяции:

глобальная - соединение всех точек ¦ (х) единым интерполяционным полиномом;

локальная - соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам).

18. Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки М(xi, yi) (i = 0, 1, ..., n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках (Рисунок 3).

Рисунок 3. Линейная интерполяция

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (xi , xi + 1), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i - го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (xi , yi) и (xi + 1, yi + 1), в виде:

Отсюда

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (20) и найти приближенное значение функции.

19. Квадратичная интерполяция

Квадратичная интерполяция представляет собой некий подбор данных для инвариантной функции в форме

Когда экстремум должен находиться на расстоянии шага

Эта точка может быть как минимумом, так и максимумом. Минимум будет в случае выполнения интерполяции (т.е. минимум локализован) или когда a является положительным. Коэффициента a и b могут быть определены из набора трех градиентов или через расчет функции. Это так же может быть определено из расчета двух градиентов. Данные коэффициенты определяются после формулировки и решения линейной системы относящихся к данной точке уравнений. Различные упрощения данной системы уравнений могут быть достигнуты при использовании особых характеристик выбранной точки. Например, для первой точки обычно принимается . Дополнительные упрощения могут быть приняты в случае равномерного распределения точек. Общая формулировка задачи будет следующей.

Пусть даны три произвольно расположенных точки и с ними связаны значения функций , то с точностью второго порядка минимум функции будет

где

При выполнении интерполяции, как противоположность экстраполяции, минимум должен быть локализован таким образом, чтобы выполнялось условие f(x₂)<f(x₁) и f(x₂)<f(x₃).

20. Сплайн-интерполяция

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки (xi,yi)не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция у(x) квадратичными или кубическими сплайнами, т. е. отрезками квадратичных или кубических парабол (см. рис.).

Смысл сплайн-интерполяции заключается в том, что в каждом промежутке между узловыми точками осуществляется аппроксимация в виде зависимости A(t)=a*t³+b*t²+c*t+d. Коэффициенты a,b,c,d рассчитываются независимо для каждого промежутка, исходя из значений yi в соседних точках. Участки парабол называются сплайнами.

Сплайн-интерполяция обеспечивает равенство в узлах не только самих соседних параболических интерполирующих функций (сплайнов), но и их 1-х производных. Благодаря этому сплайн-интерполяция выглядит как очень гладкая функция.