5)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
6)Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
3. Замена переменной в определенном интеграле.
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) (t)dt |
|
|
|
||||||
|
f (x)dx f |
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ), (t) [a;b] |
|
|
|||||||
a ( ), b |
|
|
|
||||||||||||||||||
для t [ ; ] , функции (t) |
и |
(t)непрерывны |
|||||||||||||||||||
на ; . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: |
x 1 |
dx = x |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 1 t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt dx |
4 |
|
|
|
|
2 |
3 |
04 |
|
2 |
|
|
|
|
04 |
2 |
|
16 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
tdt |
t 2 |
|
t |
|
t |
4 |
5 |
||||||||||||
= |
|
3 |
3 |
|
3 |
2 0 |
3 |
3 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Несобственные интегралы.
Def: Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале [a; + ) и интегрируется на любом интервале [a;b], где b < + . Еслиbсуществует
lim f ( x)dx,
b a
то этот предел называется несобственным
интегралом функции f(x) на интервале
[a; + ) и обозначается f (x)dx.
a
Таким образом, по определению, |
|
|
b |
f (x)dx lim |
f (x)dx lim (F (b) F (a)) |
||
|
b |
b |
|
a |
|
a |
|
Если этот предел - некоторое
число, то интеграл f ( x)dx
a
называется сходящимся, если предела не существует, или он равен , то говорят, что интеграл расходится.
ПУАССОН, СИМЕОН ДЕНИ (Poisson, Simeon-Denis) (1781–1840 гг.)
Французский математик, механик и физик. В 1811 он вывел получившее широкое применение уравнение, связывающее электрический потенциал с плотностью
пространственного распределения заряда (уравнение Пуассона).
Интеграл Пуассона:
|
|
x2 |
|
|
e |
a2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
если а = 1, то |
e x 2 dx |
|||
|
|
|
|
|
Интеграл сходится, и его значение 
.
5. Приложения определенного интеграла
1) Площадь плоских фигур. |
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
||
а) если f (x) 0 S f (x)dx |
|
|
|||||
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) если |
f (x) 0 S |
|
f (x)dx |
|
|
||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
S f ( x)dx |
|||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f ( x)dx |
f ( x)dx |
|
|
|
|
|
|
c |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
b
г) S f (x) (x) dx
a
b
2) A F ( x)dx интеграл от
a
величины силы по длине пути.
3) Прирост численности популяции.
N(t) прирост численности за промежуток времени от t0 до T, v(t) – скорость роста некоторой популяции.
T
N (t) v(t)dt
t0 интеграл от скорости
по интервалу времени ее размножения.