План лекции.

Итак, пусть дана таблица

измерений в некотором

опыте, связывающая

переменные величины

x

x1X и Yx.2

… …

xn

yii

y1

i

y2

…

yn

xi

и

… …

Значения

y будем считать также, как декартовые

координаты точек на координатной плоскости XOY .

…

,

y (x)

Требуется найти аналитическую зависимость

,

наилучшим образом отображающую опытную

зависимость.

Выберем “подходящую” функцию

, где

а,b… - параметры, так, чтобы

y ( x, a, b,...)

кривые

соответствующие

для различных a, b, … проходили вблизи точек

из опыта

(xi ; yi )

.

Найдём

такой

единственный набор значений

параметров, чтобы соответствующая кривая

(x ; y )

распола- галась ближе всех других к точкамi

изi

опыта

,

от соответствующих значений

y

( x )

из

i

i

Формулы были наименьшими

по абсолютной

величине.

Для этого составляется сумма

2

,

n

S(a, b,...) ( yi (xi , a, b,...))

i 1

Найдем наилучшую из таких прямых, т.е. найдем

линейную зависимость

,

( x) ax

b

наиболее точно описывающую опытную

зависимость.

Для такой зависимости система (*) имеет вид:

n

n

2

n

yi xi a xi

b xi 0

(**)

i 1

i 1

i 1

n

n

yi a xi

bn 0

i 1

i 1

В нашем

случае n=4 и система(**)

4

y x a

4

x2

b

4

x 0

i

i

i

перепишется :i

i 1

i 1

i 1

(***)

4

4

yi

a xi 4b 0

i 1

i 1

клетки:

4

4

xi 1 3 5 7 16

i 1

i 1

xi

1

3

5 7 16

yi

1 2 3 6 12

yi

1

2

3

6

12

4

4

i 1

2

1

9

25 49 84

xi2 1 9 25 49 84

xi

i 1

xi yi

1

6

15 42 64

xi yi 1 6 15 42 64

4

i 1

Найденные суммы подставляем в систему (***):

64 84a 16b 0 |: 4

16 21a 4b 0

16a 4b

0 |: 4

3 4a b 0

12

1

16 21a 4(3 4a) 0

b

5

b 3

4a

a

4

5

( x) 4 x

1

По двум точкам строим

эту

5

5

прямую на

координатной

x

-1

4

плоскости , данной

выше:

3

y

-1

y

y 4 x

1

5

5

6

-точки из опыта

-точки для построения

прямой

3

-прямая (x)

2

1

-1

-1

1

4 5

7

x

Нетрудно видеть, что ошибки выбора

формулы достаточно малы (могут быть

порядка ошибок измерения).