Интегральное исчисление функций одной переменной.
План лекции.
Первообразная
Неопределенный интеграл
Основные свойства неопределенного интеграла
Методы интегрирования
Первообразная
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) . Необходимо найти такую функцию |
|
|
|||||||||
Дана функция |
|
F(x), |
производная |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
, т.е. |
|
F / ( x) f |
( x) |
|
|
|||||||
которой равна |
|
f (x) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Другими словами, по производной |
|
F / (x) |
|
будем отыскивать саму функцию |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F(x), т.е. будем заниматься интегрированием. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1
F / (x) f (x) |
F (x) называется первообразной для функции |
x a;b |
на отрезке [a;b]. |
f (x)
Пример:
Найти первообразную для функции |
f (x) cos x |
|
Известно, что (sin x)/ cos x , следовательно |
|
|
F (x) sin x- первообразная для cosx. |
|
|
Но (sin x 1)/ cos x, (sin x C)/ |
cos x |
(C-const), т.е. |
первообразных cosx бесконечно много. |
|
|
Можно доказать, что функции вида |
sin x C |
исчерпывают все |
первообразные для функции f (x) cos x |
|
|
Определение 2
F (x) f (x) F(x) C f (x)dx т.е. если F(x) – первообразная для f (x) ,то семейство F(x)+C, обозначаемое символом f (x)dx , называется неопределенным интегралом функции f (x) (C-const).
В символе f (x)dx
|
- знак интеграла, |
f (x) |
- подынтегральная функция, |
f (x)dx |
- подынтегральное выражение. |
Основные свойства неопределенного интеграла
1.f (x)dx f (x)
2.d f (x)dx f (x)dx
3.dF (x) F (x) C, или F (x)dx F (x) C, C const
4.f1 (x) f2 (x) dx f1 (x)dx f2 (x)dx
5.Cf (x)dx C f (x)dx
Методы интегрирования
Для интегрирования функций f (x) , т.е. для нахождения семейства F(x)+C существуют:
1.Таблица основных интегралов
2.Методы интегрирования
Таблица основных интегралов
1. xndx xn 1 C, n, C const, n n 1
2. dxx ln x C
3. sin xdx cos x C
4. cos xdx sin x C
5. cosdx2 x tgx C
6. sindx2 x ctgx C
7. tgxdx ln cos x C
8. ctgx ln sin x C
1 |
9. ax dx |
ax |
|
|
C, |
a 0, a 1, a Const |
|||||||||||||||||||||||
ln a |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
10. ex dx ex C |
||||||||||||||||||||||||||||
|
11. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||
|
x2 a2 |
|
|
a arctg |
|
|
C, a 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
12. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 1 |
arctgx C |
|||||||||||||||||||||||||||
|
13. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 a2 |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C, a 0 |
|||||||||||||
|
2a |
x a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
14. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
x |
|
C, a 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||
|
a2 x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
15. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
16. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
x x2 |
a |
C, a 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Методы интегрирования
а) «Полезное» правило. |
|
|
|
Пусть |
f (x)dx F (x) C , где F(x) – первообразная для f (x) |
||
|
1 |
F (kx b) C |
|
Тогда |
f (kx b)dx k |
, где k, b, C – const |
|
|
|
||
Примеры
1. Найти dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подберем подходящий «табличный» интеграл : dx ln |
|
x |
|
C |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Здесь |
f (x) x , F(x) ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В нашем случае |
1 |
|
|
|
f (2x 1) |
т.е. kx b 2x 1 , где k =2. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2x 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда dx |
|
1 |
F (2x 1) 1 ln |
|
2x 1 |
|
C |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2x 1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти cos |
4x dx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
cos xdx sin x C, kx b 4x |
|
k 4 |
||||
3 |
||||||
|
|
|
1 |
sin( |
|
4x) C |
тогда cos |
4x dx |
4 |
3 |
|||
3 |
|
|
|
|
||