План лекции:
1. Методы интегрирования(продолжение)
2. Определенный интеграл
Методы интегрирования
4) Замена переменной
Часть подынтегральной функции или вся функция Ψ(х) заменяется новой переменной, т.е.:
Ψ(x)=t , (*)
dx через t находится после дифференцирования обеих частей уравнения замены (*):
dΨ=dt, или Ψ‘(x)dx=dt
Если интеграл с новой переменной найден , то, возвращаясь к прежней переменной Х, согласно уравнению замены, получим искомый интеграл.
Пример:
1)Найти
Cos3xdx I
Сделаем замену 3х=t
d (3x) dt (3x) dx dt 3dx dt :3 dx dt3
Теперь…
I Cost dt3 13 Costdt 13S int C 13 Sin3x C
2) x2dx I x3 8
Замена
x3 8 t d (x3 8) dt |
|
|
|
|
|||||||||||||
3x2dx dt dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 |
dt2 |
1 |
dt |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x3 8 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ТеперьI |
t |
3x |
|
3 |
t |
3 ln |
|
t |
|
C 3 ln |
|
C |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 3 |
|
||
т.д.Или x2dx |
3 |
|
|
и тогда I t |
и |
||||||||||||
3) ПримерI 
1 ln x dx
x
Делаем замену
1 ln x t 1 ln x t2
d(1 ln x) d(t2 ) (1 ln x) dx (t2 ) dt
dxx 2tdt
Подставляем |
dx |
через t в подынтегральное |
x |
||
выражение: |
|
|
I t 2tdt 2 t2dt 23 t3 C 23 
(1 ln x)3 C
5) Метод преобразования дифференциала
Справедливы следующие формулы:
2xdx d (x2 ) dxx d (ln x)
Cosxdx d (Sinx)Sinxdx d (Cosx) ex dx d (ex )
d (x C) dx d (Cx) Cdx
dx 1a d (ax b) 
Примеры
|
|
|
dx (x 1) |
12 d (x 1) u 1 |
2 du |
|||||
|
x 1 |
|||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u 3 2 |
C 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
(x 1)3 C |
|
|
||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||
2) Cos3xdx Cos3x 3dx3
13 Cosudu 13Sinu C
3) |
(1 lnx x)dx |
(1 ln x)d (ln x) |
|||
1 |
(1 |
ln x)2 |
C |
||
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
1
3 Cos3xd(3x)
u
13 Sin3x C
(1 ln x)d (1 |
ln x) udu u2 |
C |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
u |
|
|
|
Определенный интеграл
Пусть функция f(x) определена на отрезке (a;b). Разобьем отрезок на n частей точками
a x0 x1 x2 ... xn b ,
выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку к , 
вычислим значение f(x) в каждой из этих точек и обозначим через xk длину каждого такого отрезка.
k 1,2,..., n
Определение 1:
|
|
|
n |
Сумма вида |
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x2 f ( n ) xn f ( k ) xk |
||
|
|
|
k 1 |
называется интегральной суммой для f(x) на отрезке a;b
Определение 2:
Устремим максимальную длину отрезков к нулю. При этом
n . Тогда интегральная сумма стремится к некоторому |
|||||||
пределу |
Lim |
n |
f ( |
|
) x |
|
b |
|
|
|
|
f (x)dx |
|||
|
max xk 0 |
|
k |
|
k |
|
|
|
n |
k 1 |
|
|
|
|
a |
называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке a;b (или в отрезке от a до b). a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования.
Геометрический смысл
|
|
b |
|
Если f x 0 на |
a;b , то |
f (x)dx |
численно |
a |
равен площади криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=a, x=b, y=a.