Дифференциальные
уравнения (продолжение)
План лекции
I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры)
II. Линейные однородные уравнения 1-ого порядка. III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
I. Примеры
1. х 1 3 dy y 2 2 dx 0
Найти общий интеграл. |
|
|
|
|||||||||||||||
Поделим обе части на (x 1)3 ( y 2)2 |
0 |
|||||||||||||||||
чтобы разделить переменные. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dx |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
( y 2)2 |
|
(x 1)3 |
Проинтегрируем обе части: |
|||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
(C const) |
|
|||||||||
( y 2)2 |
(x 1)3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( y 2) 2 d ( y 2) (x 1) 3 d (x 1) |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
C |
|
|
|
|||
|
y 2 |
|
2(x 1)2 |
|
|
- общий интеграл |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно y и получить общее решение.
2. y y cos2 x ln y
Перепишем уравнение, заменив |
y на |
dx : |
|
||||||
dy |
|
||||||||
y dy cos2 |
x ln y |
| dx |
|
|
|
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydx cos2 x ln y dy |
| |
: y cos2 |
x 0 |
|
|||||
dx |
dy |
|
dx |
ln ydy |
|
||||
|
ln y y |
|
|
|
y |
|
|||
cos2 x |
cos2 x |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
y C |
|
|
tgx ln yd(ln y) tgx 2 ln |
|
- общий интеграл |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.( y xy)dx (x xy)dy 0
Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося общие множители за скобки:
|
y(1 x)dx x(1 y)dy 0 |
|
| : ( yx) |
|
|
||||
|
1 x |
dx |
1 y |
dy 0 |
|
1 x |
dx |
1 y |
dy C |
|
|
|
|
||||||
|
x |
y |
|
x |
y |
||||
1x
dx
x
1 dx |
1 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
dy |
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 dy C
y C
ln x x ln y y C - общий интеграл
4. Найти частный интеграл уравнения
удовлетворяющий начальному условию
ydx ctgx dy 0 ,
|
|
1. |
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
Найдем вначале общий интеграл.
ydx ctgx dy 0 |
|
| : yctgx 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
dx |
dy 0 |
tgxdx dy |
C |
|
|
|||||||||||||||||||
ctgx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln |
|
cos x |
|
ln |
|
y |
|
C |
|
ln |
|
|
y |
|
C |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
|
|
eс |
|
|
y |
|
C1 |
|
|
y |
|
C1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
cos x |
|
|
cos x |
|
cos x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
C 2 |
|
y C 2 cos x - общее решение |
cos x |
С1 eс , C 2 C1 .
Используя начальное условие, подставляем в общее решение значения
|
|
|
x 3 , y 1 |
|
|
1 C 2 cos |
C 2 |
2 |
3 |
|
|
Найденное значение константы С 2 |
подставляем в общее решение |
|
y 2 cos x - искомое частное решение
II. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и её производной y
Общий вид линейного уравнения:
y P x y Q x
Рассмотрим случай однородного уравнения, когда Q x 0, т.е.:
y P x y 0
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
dy |
P x y 0 | dx |
|
dy |
P x dx 0 |
dx |
dy |
|
y |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируем: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y P x C |
ln |
|
y |
|
|
|
P x dx C |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
ln |
|
y |
|
C P x dx |
|
y |
|
eC P x dx |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
|
eC e P x dx |
y C e P x dx |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
|
y C2e P x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(здесь C1 eC ,C2 C1 )
Пример.
y yctgx 0 |
Найти общее решение. |
|
|
|||||||
Здесь P x |
ctgx и тогда |
|
|
|
|
|
|
|||
y Ce ctgxdx |
|
y Cln |
|
sin x |
|
y C |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
y C sin x y C1 sin x - искомое общее решение
(C1 C)
III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида y(n) f (x) решается последовательным n-кратным |
|||||
интегрированием. |
|
|
|||
Умножаем обе части уравнения на dx: |
|||||
y |
(n)dx f x dx |
|
|
||
Интегрируем: |
|
|
|||
y(n)dx |
|
f x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем уравнение (n-1)-го порядка: |
|||||
y |
(n 1) F |
x C |
F (x) |
||
|
|
1 |
1 |
,где 1 |
первообразная для f(x) |
Снова умножаем обе части на dx и интегрируем:
y(n 2) (F1(x) C1)dx y(n 2) F2 (x) C1x C2
или
и т.д.
Общее решение будет зависеть от n произвольных констант
Пример.
y 60x2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y dx 60x |
2 |
dx y |
dx 60x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y 60 x2dx y 60 x3 |
C |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y 20x3 C1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
C1)dx |
|
|
|
|
|
|
3 |
C1)dx |
|
|
||||||||||
y dx (20x |
|
|
|
y dx (20x |
|
|
|
||||||||||||||||
y 5x4 C1x C2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y dx (5x4 C x C |
2 |
)dx y dx (5x4 |
C x C |
2 |
)dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
y x5 C |
|
|
x2 |
C |
2 |
x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||