5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
|
2n |
|
|
2" |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
n! |
|
an 1 |
n 1 ! |
|
|||||||
n 1 n! |
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
n! |
|
|
2 |
|
|
|
||
lim an 1 lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
0 |
|||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||||
n an |
n |
1 ! 2 |
|
n n 1 |
|
||||||||
ℓ=0<1 => ряд сходится.
6. Исследоватьnпо признаку Коши сходимость ряда: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
n |
|
1 |
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
an |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
n |
|
|
n |
n |
|
2n 1 |
|
|
n 2n |
|
|
|
|
2 |
|
=> сходится |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
Знакопеременные ряды
Определение: Если члены числового ряда с
разными знаками, то такой ряд будет называться знакопеременным.
● Знакопеременный ряд a1 a2 a3 an (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится
ряд, составленный из абсолютных
величин его членова1 а2 а3 ... аn ... (2)
Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
● Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1)условноназываетсясходящимся.
Признаки абсолютной сходимости знакопеременного ряда те же, что и сходимости с положительными членами.
Знакочередующиеся ряды
Ряд a1 |
a2 a3 a4 ... ( 1)n 1 an ... |
(3) |
|||||||
a |
a |
|
a |
|
... ( 1)n a |
|
... |
||
2 |
3 |
n |
(3`) |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
где |
n>0 (n=1,2,3,…) называется |
||||||||
знакочередующимся. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Признак
|
|
|
Лейбница |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если члены знакочередующегося ряда (3) |
|||||||||||
убывают по абсолютнойa |
величинеa a ... a |
n |
... |
||||||||
|
lim an |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
||
и |
0 , то такой ряд сходится и |
||||||||||
|
n |
|
|
сумма |
|
|
|
|
|
|
|
его |
0<S<a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
# Исследовать сходимость |
|
|
|
|
|
||||||
знакопеременного ряда. |
|
|
|
|
|
||||||
1 1 |
1 |
1 |
... ( 1)n 1 |
|
1 |
|
... |
||||
5 |
|
2n 1 |
|||||||||
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и предел
lim |
1 |
|
|
0 |
=>ряд сходится |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|||||||||
n 2n |
|
1 1 |
1 |
1 ... |
1 |
|
|
||||||
Составлен ряд |
|
(а) |
|||||||||||
2n 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
7 |
|
|||
и сравним его с расходящимся |
рядом |
|
|||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
(б) |
|
2 4 |
|
6 ... |
|
|
|
|
|
||||||
|
2n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
(т.к. расходится гармонический ряд).
Каждый член ряда (а) больше соответственного члена ряда (б), следовательно, ряд (а) расходится, потому данный ряд сходится условно.
Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом
|
1 n 1 |
|
1 n |
|
1 n |
|
||
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
an 1 |
|
an 1 |
|
4n 1 |
|
||
|
|
|
|
|||||
2) |
Абсолютно сходятся ряды с общим членом |
|||||
an |
( 1)n |
; |
1 |
- сходится |
||
an |
an |
|||||
|
|
|
|
|||
3) |
Расходятся ряды с общим членом |
|||||
an ( 1)n n
1 2 3 4 ... ( 1)n n
Признак Лейбница не работает. |
|
|
|||||||
1+1+1+1+… |
ряд расходится, т.к. lim s |
|
|
||||||
Sn n - |
n |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
n2 |
- сходится. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
( 1)n 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
- сходится условно. |
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|