3. Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями проводится при группировке данных по двум признакам и включении нескольких выборок в группу. В этом случае учитывается взаимодействие факторов. Источником групповой вариации являются оба фак­тора и их взаимодействие:

,

где  групповая вариация под воздействием двух факторов;

− групповая вариация под воздействием перво­го фактора;

− групповая вариация под воздействием второ­го фактора;

− вариация от взаимодействия факторов.

Общая вариация равна:

.

Схема дисперсионного анализа имеет вид (табл. 6.10).

Т а б л и ц а 6.10

Схема двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями

Источники вариации	Вариация (сумма квадратов отклонений)	Степень свободы вариации	Дисперсия	Отношение дисперсий
				Фактическое	табличное
Групповая 1 (по 1-му фактору)
Групповая 2 (по 2-му фактору)
Взаимодействие факторов	wвзаим
Остаточная	wост			1	
Общая	wо				

Формулы для расчета вариации при равной численности групп имеют вид:

,

где x_ilj  варианты;

общая средняя;

k  число групп по первому фактору (группировочному признаку);

m  число групп по второму фактору (группировочному признаку);

n  численность групп;

N  численность совокупности;

групповая вариация (сумма квадратов отклонений сред­них по подгруппам от общей средней):

,

где − средние по подгруппам;

групповая вариация по первому фактору (сумма квадра­тов отклонений средних по первому фактору от общей сред­ней):

,

где − групповые средние по первому фактору;

групповая вариация по второму фактору (сумма квадра­тов отклонений средних по второму фактору от общей сред­ней):

,

где − групповые средние по второму фактору;

вариация взаимодействия факторов:

;

остаточная вариация:

.

Пример. Имеются данные об убойном выходе полукровных бычков по герефордской породе в зависимости от породы матери и возраста убоя (табл. 6.11).

Т а б л и ц а 6.11

Убойный выход бычков, %

Порода матери	Возраст убоя, мес.	Номер бычка					Сумма	Квадрат суммы
		1	2	3	4	5
Симментальская	13-14 15-16 17-18	55 57 58	54 57 59	55 56 57	53 56 58	56 57 57	273 283 289	74529 80089 83521
Красная степная	13-14 15-16 17-18	53 56 57	54 55 57	53 55 55	53 54 56	55 56 58	268 276 283	71824 76176 80089
Итого							= 1672	=466228

Требуется выявить зависимость убойного выхода бычков от породы матери (1-й фактор) и возраста убоя (2-й фактор). Оценку провес­ти при уровне вероятности суждения 0,95.

Для расчета показателей вариации убойный выход бычков возведем в квадрат (табл. 6.12), а также составим таблицу из сумм по подгруппам, полученным в таблице 6.11 (табл. 6.13).

Т а б л и ц а 6.12