Далее следует проверить план на оптимальность.

Для этого вычисляют потенциалы. Одной из вершин (например, вершине I) присвоим некоторое значение потенциала (например, равное 0). (Для большей наглядности потенциалы заключают в рамки.) После этого, двигаясь по стрелкам, определяют потенциалы остальных вершин, руководствуясь правилом: если стрелка выходит из вершины, то к потенциалу этой вершины прибавляем показатель C_ij критерия оптимальности, если же направление стрелки противоположно, то C_ij вычитаем.

После вычисления потенциалов находят характеристики ребер без стрелок по правилу: из большего потенциала вычитается меньший, а разность вычитается из показателя C_ij, отвечающего данному ребру; если все ребра без стрелок имеют неотрицательные характеристики, то составленный план является оптимальным.

Если план неоптимален.Для улучшения плана надо "загрузить" то ребро без стрелки, которому соответствует отрицательная характеристика. Если таких ребер несколько, то выбирается ребро с наибольшей по абсолютной величине отрицательной характеристикой и к нему подрисовывается новая стрелка. При этом образуется замкнутый контур из стрелок. Новая стрелка направляется от вершины с меньшим потенциалом к вершине с большим потенциалом.

10. Тео́рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках. Конфликтная ситуация- такая ситуация, в кот-й эф-ть принимаемого стороной решения зависит от действий др стороны. КС- назыв. антагонистической, если увеличение выигрыша одной стороны на некот величину приводит к уменьшению на такую же величину средств др стороны. Игры бывают: парные и множественные. Игра-назыв конечной, если число стратегий у игроков конечно. Стратегия игрока назыв оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении максимизировать возможный средний выигрыш или минимиз-ть возмож ср проигрыш. Выбор одной из предусмотренных правилами игры стратегии назыв ходом. Ходы бывают: личные и случайные. Платежной фун-ей назыв выигрыш для сов-ти выбранной сторонами стратегии. Если выигрыш одной из сторон = проигрышу другой, то игра назыв игрой с нулевой суммой. Модель теории очередей или модель оптимального обслуживания используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории очередей могут быть полезны, можно отнести звонки людей в авиакомпанию для резервирования места и получения информации, ожидание в очереди на машинную обработку данных, мастеров по ремонту оборудования, очередь грузовиков под разгрузку на склад, ожидание клиентами банка свободного кассира.

Решение матричной игры в чистых стратегиях

Пусть множества стратегий обеих сторон конечны:

M={Xi, i=1,…,n}

N={Yj, j=1,…,n}

Тогда игра представляется платежной матрицей ||F_ij||, показывающей, какой платеж F_ij получает оперирующая сторона, применяя X_i, когда противник выбрал Y_j.

Дискретные конечные игры называются матричными. Для этих игр максимин получается простым перебором.

Имеется достаточно простая процедура определения седловой точки:

• Выбирают произвольно j₁, находят minFi1j и соответствующую i₁.

• Определяют j₂ из условия minFi1j= Ai1 ; если j₁ = j₂, то седловая точка найдена.

• Определяют i₁, из условия max Fij2 ; если i₁ = i₂, то седловая точка найдена, в противном случае процедура повторяется.

В таком виде возможно зацикливание процесса. Чтобы это исключить, имеет смысл модифицировать процедуру следующим образом:

1. Выбирают произвольно j₁ и рассматривают все i₁, на которых реализуется min Fi1j1 .

2. Для каждого из i₁ определяют все j₂, на которых реализуется min Fi1j; если при этом какое-то j₂ совпадет с j₁, то седловой точкой является (i₁, j₁); если все j₂≠j₁ , то j₁ вычеркивается.

3. Выбирают какую-нибудь i₁ и рассматривают все j₂≠j₁, на которых реализуется min Fi1j1 для каждого из этих j₂ определяют i₁, на которых достигается max Fij2 ; если среди них есть i₂ = i₁, то седловая точка (i₁, j₂ ); если все j₂≠j, то i₁ вычеркивается.

Задача отыскания седловой точки в платежной матрице называет­ся задачей решения игр в чистых стратегиях.

11. На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т. е. возникают ситуации, в которых две стороны преследуют различные цели и результаты действия каждой из сторон зависят от мероприятий противника (или партнера). Ситуация, в которой эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называется конфликтной. Конфликт всегда связан с определенного рода разногласиями (это не обязательно антагонистическое противоречие). Конфликтная ситуация называется антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот. Чтобы в конфликтных ситуациях принимать оптимальные решения, создана математическая теория конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр. Возникновение этой теории относится к 1944 г., когда была издана монография Дж. фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение» Игра – это математическая модель реальной конфликтной ситуации. Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход конфликта называется выигрышем. Правила игры – это система условий, определяющая варианты действий игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнеров; выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. Игроки обозначаются A и B. Игра называется антагонистической (с нулевой суммой), если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Выбор и осуществление одного из вариантов действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из вариантов действий (например, в шахматах). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости). Мы будем рассматривать только личные ходы. Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих поведение игрока при каждом личном ходе. Обычно в процессе игры на каждом этапе игрок выбирает ход в зависимости от конкретной ситуации. Возможно также, что все решения приняты игроком заранее (т. е. игрок выбрал определенную стратегию). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае. Цель теории игр – разработать методы для определения оптимальной стратегии каждого игрока. Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает этому игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш независимо от поведения противника). Алгоритм решения матричной игры

1-й шаг. Ко всем элементам исходной матрицы игры прибавляется одно и то же положительное число γ так, чтобы все элементы новой матрицы были строго положи­тельны.

2-й шаг. Решаются двойственные задачи линейного программирования (А) и (В) (например, симплекс-методом, или как-нибудь иначе). Находятся наборы , и число Θ.

3-й шаг. Строятся оптимальные смешанные стратегии игроков А и В соответствен­но

4-й шаг. Вычисляется цена игры

12. Конфликт всегда связан с определенного рода разногласиями (это не обязательно антагонистическое противоречие). Конфликтная ситуация называется антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот. Чтобы в конфликтных ситуациях принимать оптимальные решения, создана математическая теория конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр. Возникновение этой теории относится к 1944 г., когда была издана монография Дж. фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение» Игра – это математическая модель реальной конфликтной ситуации. Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход конфликта называется выигрышем. Правила игры – это система условий, определяющая варианты действий игроковИгра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. Игроки обозначаются A и B. Игра называется антагонистической (с нулевой суммой), если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Выбор и осуществление одного из вариантов действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из вариантов действий (например, в шахматах). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости). Мы будем рассматривать только личные ходы. Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих поведение игрока при каждом личном ходе. Цель теории игр – разработать методы для определения оптимальной стратегии каждого игрока. Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает этому игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш независимо от поведения противника/

Решение матричной игры графическим методом. При поиске оптимальных стратегий в матричных играх размерностей и целесообразно использовать графический метод решения задач линейного программирования и свойства оптимальных планов пары двойственных задач: если в оптимальном плане задачи переменная положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом обращается в равенство; если оптимальным планом задачи ограничение обращается в строгое неравенство, то в оптимальном плане двойственной задачи соответствующая переменная равна нулю.

Нахождения приближенного решения игр в области смешанных стратегий может быть применен «метод Браун-Робинсон» или называемый еще как «метод фиктивного разыгрывания».

Идея метода заключается в следующем. Мысленно разыгрывается эксперимент, в котором противники А и B применяют друг против друга свои стратегии. Эксперимент состоит из последовательности партий (игр).

Один из игроков, например A, выбирает свою произвольную стратегию A_i. Игрок B отвечает той своей стратегией B_j, которая наименее выгодна для игрока A, применяющего стратегию A_i. На это игрок A отвечает своей стратегией A_l, которая наименее выгодна для игрока B, применяющего стратегию B_j. Снова очередь игрока B. Он выбирает опять ту стратегию, которая наименее выгодна для игрока A, применяющего половинную смесь стратегий A_i и A_l.

Таким образом, в каждой партии, когда наступает у игрока очередь выбирать стратегию, он отвечает своему противнику той своей чистой стратегией, которая является наихудшей мерой против всех его предыдущих выборов. Эти предыдущие выборы рассматриваются как своеобразная «смешанная стратегия», где чистые стратегии смешаны в пропорциях, соответствующих частоте их применения в прошлом.

Если такой процесс продолжать достаточно долго, то средний выигрыш, приходящийся на одну партию, будет стремиться к цене игры n. Сходимость метода довольно медленная, однако для практики решение получается довольно скоро (за несколько десятков итераций).

13. Ситуация, в которой эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называется конфликтной. Конфликт всегда связан с определенного рода разногласиями (это не обязательно антагонистическое противоречие). Чтобы в конфликтных ситуациях принимать оптимальные решения, создана математическая теория конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр. Возникновение этой теории относится к 1944 г., когда была издана монография Дж. фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение» Игра – это математическая модель реальной конфликтной ситуации. Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход конфликта называется выигрышем. Правила игры – это система условий, определяющая варианты действий игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнеров; выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. Игроки обозначаются A и B. Выбор и осуществление одного из вариантов действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из вариантов действий (например, в шахматах). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости). Мы будем рассматривать только личные ходы. Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих поведение игрока при каждом личном ходе. Обычно в процессе игры на каждом этапе игрок выбирает ход в зависимости от конкретной ситуации. Возможно также, что все решения приняты игроком заранее (т. е. игрок выбрал определенную стратегию). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае. Цель теории игр – разработать методы для определения оптимальной стратегии каждого игрока. Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает этому игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш независимо от поведения противника). Во многих задачах, приводящихся игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие. Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности, которую называют природой. Такие игры называются статистическими или играми «с природой».

Игрок А в играх с природой стремится действовать осмотрительно в зависимости от конкретной ситуации. Природа безразлична к выигрышу, и не стремится использовать промахи игрока А. Ее возможные стратегии определяются, как состояния природы, например: условия погоды в данном районе, спрос на некоторую продукцию и т.д. Как и в матричных играх, условия игры задаются платежной матрицей, но сокращать ее размеры путем отбрасывания некоторых столбцов теперь невозможно, т.к. природа может реализовать любое свое состояние.

В некоторых задачах игроку А могут быть известны вероятности р_j, с которыми природа реализует свои состояния, а в других они неизвестны.

При выборе оптимальной стратегии игрока А применяются различные критерии принятия решения.

Критерий Байеса. При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша, то есть ,

где Pi – вероятности состояний природы, причем .

2. Критерий Лапласа. В некоторых задачах, когда вероятности состояний природы неизвестны, для их оценки используются принцип недостаточности основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятными.

Критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша, то есть

Если распределение вероятностей состояний природы неизвестно, то используются следующие критерии:

Максимальный критерий Вальда. Он основан на выборе стратегии игрока А, при которой минимальный выигрыш максимален. Если руководствоваться этим критерием, надо ориентироваться на худшее в игре и выбирать ту стратегию, при которой выигрыш в худших условиях является максимальным:

В каждой строке находим минимальный элемент: .

4. Критерий минимального риска Сэвиджа. Выбирается стратегия, при которой величина риска минимальна в самой неблагоприятной ситуации.

Определение. Риском игрока при использовании стратегии А_i при состоянии природы П_j называется разность между выигрышем, который он получил бы, если бы знал П_j , и выигрышем, который он получил в обычных условиях, применяя стратегию А_i.

Рассчитаем матрицу рисков. Заполнять ее лучше по столбцам. В каждом столбце находим максимальный элемент и вы читаем из него все остальные элементы столбца, результаты записываем на соответствующих местах.

Вот как рассчитывается первый столбец. Максимальный элемент в первом столбце: , значит по формуле :

5. Критерий Гурвица

Выбирается стратегия, при которой достигается

Для каждой строки рассчитываем значение критерия по формуле: .

Мы не можем признать окончательное решение, выбранное по какому-либо одному критерию. Поэтому необходимо проанализировать решения, полученные по указанным критериям, и выбрать доминирующий ответ.

14. Системами массового обслуживания называются системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов. Подобные системы включают в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований.Классификация СМО:

1.по условия ожидания требования начала обслуживания:

*СМО с потерями (отказами):СМО, у которых требования, поступающие в момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. В качестве примера подобной системы можно привести телефонную станцию.

*Системы массового обслуживания с ожиданием:

СМО, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству. Примером может служить очередь в магазине, банке, и т.д.

*Системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди:СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней.

*Системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания:СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней.

2.По числу каналов или приборов системы делятся на одноканальные и многоканальные.

3. По месту нахождения источника требований системы массового обслуживания делятся на:

• разомкнутые, когда источник находится вне системы;

• замкнутые, когда источник находится в самой системе. К такому виду относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание.

Показатели эффективности СМО Показатели эффективности обычно формируются на основе полученных из расчетов значений вероятностей состояний системы:

1.Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединяться к очереди и теряется, (Р_отк).

2.Среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания

3.Относительная (q) и абсолютная (А) пропускные способности системы

4.Среднее число занятых обслуживанием приборов в случае экспоненциального характера потока требований и времени обслуживания

5. Общее количество требований, находящихся в системе (М)

15. Одноканальная СМО с отказами

СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Образование очереди не допускается. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она покидает систему.

Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Среднее время обслуживания одной заявки tабсл = 1/μ.

Возможные состояния СМО S0 (канал свободен) и S1 (канал занят).Размеченный граф состояний одноканальной СМО с отказами имеет следующий вид

Показатели эффективности работы СМО:

1) вероятность отказа Ротк (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной, т.е. предельная вероятность состояния S1) Ротк =Р₁;

2) относительная пропускная способность Q (отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу поступивших за это время заявок)

Q=1–Ротк;

3) абсолютная пропускная способность А (среднее число заявок, которое СМО может обслужить в единицу времени) - А=λQ.