6. Сеть-это ориентирующий граф без контура, по дугам которого пропускают однородные вещества. Каждая вершина характеризуется интенсивностью.

Вершина, для кот-й интенсивность >0 назыв источником, а <0 назыв стоком. Все остальные вершины промежуточные. Будем рассматривать сети с един-м источником и един-м стоком. Bij – max кол-во вещ-ва, к-е можно пропускать по дуге, соединяющие вершины Vi и Vj. Xij- фак-ое кол-во вещ-ва, перемещаемого по дуге Vi, Vj в ед. времени. Разрез-это сов-ть всех дуг, таких, что начальная вершина принадлежит множ-ву R, а конечная вершина принадлежит . Множ-ва R и -это такие непересекающиеся множ-ва, что V0, где V0-источник и Vn. Пропускная способность разреза равна сумме пропускных способностей дуг его образующих.

Граф - это двойка <V, E>, где V - непустое множество вершин, а Е - множество ребер, соединяющих эти вершины попарно²⁾. Двевершины, связанные между собой ребром, равноправны, и именно поэтому такие графы называются неориентированными: нет никакой разницы между "началом" и "концом" ребра.

Говоря простым языком, граф - это множество точек (для удобства изображения - на плоскости) и попарно соединяющих их линий (не обязательно прямых). В графе важен только факт наличия связи между двумя вершинами. От способа изображения этой связи структура графа не зависит. Путь в графе - это последовательность вершин (без повторений), в которой любые две соседние вершины смежны. Длина пути - количество ребер, из которых этот путь состоит. Цикл - это замкнутый путь. Все вершины в цикле, кроме первой и последней, должны быть различны. Орграф - это граф, все ребра которого имеют направление. Такие направленные ребра называются дугами. На рисунках дуги изображаются стрелочками

Способы представления графов:

Матрица смежности Sm - это квадратная матрица размером NxN ( N - количество вершин в графе ), заполненная единицами и нулями.

Список ребер. Этот способ задания графов наиболее удобен для внешнего представления входных данных.

Списки смежности. Этот способ задания графов подразумевает, что для каждой вершины будет указан список всех смежных с нею вершин (для орграфа - список вершин, являющихся концами исходящих дуг ).

Иерархический список. Собственно, этот способ представления графов является всего лишь внутренней реализацией списка смежности: в одном линейном списке содержатся номера "начальных вершин ", а в остальных - номера смежных вершин или указатели на эти вершины.

7. Сеть-это ориентирующий граф без контура, по дугам которого пропускают однородные вещества. Каждая вершина характеризуется интенсивностью.

Вершина, для кот-й интенсивность >0 назыв источником, а <0 назыв стоком. Все остальные вершины промежуточные. Будем рассматривать сети с един-м источником и един-м стоком. Bij – max кол-во вещ-ва, к-е можно пропускать по дуге, соединяющие вершины Vi и Vj. Xij- фак-ое кол-во вещ-ва, перемещаемого по дуге Vi, Vj в ед. времени. Разрез-это сов-ть всех дуг, таких, что начальная вершина принадлежит множ-ву R, а конечная вершина принадлежит . Множ-ва R и -это такие непересекающиеся множ-ва, что V0, где V0-источник и Vn. Пропускная способность разреза равна сумме пропускных способностей дуг его образующих.

Теорема Форда-Фалкерсона: В любой сети мах величина потока из источника в сток = мин пропускной способности разреза отделяющего источник от стока. Алгоритм: формируем матрицу пропускных способностей, находим путь , находим мин пропускную способность, находим множ-ва R и ,затем находим разрез.

8. Транспортная задача - одна из наиболее распространенных задач математического программирования. В общем виде ее можно представить так: требуется найти такой план доставки грузов от поставщиков к потребителям, чтобы стоимость перевозки была наименьшей. Опорный план является допустимым решением ТЗ и используется в качестве начального базисного решения при нахождении оптимального решения методом потенциалов. Существует три метода нахождения опорных планов: метод северо-западного угла, метод минимального элемента и метод Фогеля. "Качество" опорных планов, полученных этими методами , различается: в общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение (зачастую оптимальное), а метод северо-западного угла – наихудшее. Все существующие методы нахождения опорных планов отличаются только способом выбора клетки для заполнения. Само заполнение происходит одинаково независимо от используемого метода .

План транспортной задачи является опорным тогда и только тогда, когда из занятых им m+n-1 клеток нельзя образовать ни оного цикла.

Построение опорного плана .

Выбирается клетка в транспортной таблице. В выбранную клетку записывается максимально возможная величина поставки. При этом либо исчерпывается запас груза у поставщиков (“закрывается строка”), либо полностью удовлетворяется спрос потребителя (“закрывается столбец”). Соблюдение этого требования обеспечит заполнение m+n-1 клеток.Основные способы построения опорногоплана :

1. Способ “Северо-западного угла”: Первой загружается клетка(1;1) ; Если закрывается строка , то следующей загружается клетка (2;1); Если закрывается столбец, то следующей загружается(1;2) ; Далее загружается клетка соседняя либо по строке, либо по столбцу; Процесс заканчивается, когда распределяют весь груз.

2. Способ минимального элемента: Первой в таблице загружается клетка , которой соответствует наименьший тариф (выбирают только среди тарифов реальных поставщиков и потребителей, запасы фиктивного поставщика распределяются в последнюю очередь); Далее загружается клетка той же строки (столбца) со следующим по величине тарифом и т.д.; Процесс заканчивается, когда распределяют весь груз.

3. Способ Фогеля.Преобразование опорного плана в другой опорный план . Если в транспортной таблице содержится опорный план , то для каждой свободной клетки можно образовать цикл, содержащий эту свободную клетку и некоторую часть загруженных клеток.

9. Если условия транспортной задачи заданы в виде картосхемы, на которой условно изображены поставщики, потребители и связывающие их дороги, указаны величины запасов груза и потребностей в нем, а также числа c_ijявляющиеся показателями принятого в задаче критерия оптимальности (тарифы, расстояния и т.п.), то говорят, что транспортная задача поставлена в сетевой форме. Описанную картосхему будем называть транспортной сетью. Пункты расположения поставщиков и потребителей будем изображать кружками и называть вершинами (узлами) сети, запасы груза будем записывать в кружках положительными, а потребности - отрицательными числами. Дороги, связывающие пункты расположения и потребления груза и другие пункты, будем изображать линиями и называть ребрами (дугами, звеньями) сети. При изображении транспортной сети реальный масштаб не соблюдается. На сети могут быть изображены вершины, в которых нет ни поставщиков, ни потребителей. Наличие таких вершин не повлияет на способ решения, если считать, что запасы (потребности) груза в них равны нулю. Решение задачи на сети начинается с построения начального опорного плана.

Опорный план должен удовлетворять следующим требованиям:

1) все запасы должны быть распределены, а потребности удовлетворены;

2) к каждой вершине должна подходить или выходить из нее хотя бы одна стрелка;

3) общее количество стрелок должно быть на единицу меньше числа вершин;

4) стрелки не должны образовывать замкнутый контур