3. Смешанные стратегии. Теорема Неймана.

Смешанной стратегией первого игрока называется применение его чистых стратегийпо случайному закону с частотамипричем сумма частот (вероятностей) равна 1:. Смешанная стратегия первого игрока записывается в виде матрицы:

Аналогично смешанную стратегию второго игрока будем обозначать

где сумма частот его стратегий равна 1: .

Средняя цена игры V(,) со стратегиями игроков и равна:

(1) V(,) =

Любая чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии, в которой все стратегии, кроме одной, применяются с нулевыми частотами, а данная – с частотой 1.

На основании принципа минимакса определяется решение игры: это пара оптимальных стратегий , в общем случае смешанных, обладающих свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий решению игры, называется ценой игры и обозначаетсяV.

Так как чистые стратегии являются частным случаем смешанных, то цена игры удовлетворяет неравенству: .

В 1928 году американский математик Джон Нейман доказал теорему:

Теорема 2 (Неймана [19]): Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Для нахождения решения конечных игр без седловой точки требуется ввести еще одно понятие «активной» стратегии:

Активной стратегией называется стратегия игрока, входящая в его смешанную стратегию с отличной от нуля частотой.

Теорема 3 (об активных стратегиях): если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры V, если другой игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Пример. Позднее мы докажем, что оптимальной стратегией Фионы в игре с пальцами является смешанная стратегия с частотами . Цена игрыV = –. Так как игра без седловой точки, то обестратегии Эдварда – активные. По теореме 3 при любых частотах стратегий Эдварда цена игры не изменится, если Фиона придерживается своей оптимальной стратегии. Пусть, например, частоты стратегий Эдварда таковы: .Средняя цена игры по формуле (1) равна: V.

Теорема 3 имеет большое практическое значение, так как она в некоторых случаях позволяет найти решение игры без седловой точки.

4. Аналитическое решение игры размера 2×2

Рассмотрим игру размера 2×2 с платежной матрицей

Для игры размера 2×2, в которой отсутствует седловая точка, решением игры по теореме Неймана будет пара смешанных стратегий

и , ,.

Чтобы их найти, воспользуемся теоремой 3. Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии , то его средний выигрыш будет равен цене игры V при любой активной стратегии второго игрока. Для данной игры размера 2×2 любая чистая стратегия игроков является активной. Если первый игрок использует оптимальную смешанную стратегию , а второй игрок применит первую активную стратегию, то выигрыш первого игрока равен цене игры:

Если первый игрок использует оптимальную смешанную стратегию , а второй игрок применит вторую активную стратегию, то выигрыш первого игрока снова будет равен цене игры:

Приравнивая левые части уравнений и учитывая, что =,

получаем уравнение относительно :

, откуда находим оптимальную стратегию первого игрока:

, =

и цену игры:

Так как цена игры уже найдена, то для определения оптимальной стратегии второго игрока достаточно одного уравнения, которое получаем, если второй игрок применяет оптимальную стратегию, а первый – свою первую активную стратегию:

,

откуда , учитывая, что , получаем:

= ,

Найдем по этим формулам решение игры Эдварда и Феоны.

Платежная матрица игры : , поэтому

,=;; = , =;

Оптимальные стратегии игроков:

и

Игра для Эдварда невыгодная: в среднем за каждую игру он будет проигрывать доллара.