Элементы теории игр

1. Основные понятия теории игр

На практике часто приходится анализировать ситуации, в которых две или более стороны преследуют различные цели (в экономике, спорте, военном деле), причем результат любого действия, принятого каждой стороной, зависит от решений, которые принимают партнеры. В данной главе мы подробно рассмотрим ситуации, в которых участвуют две стороны, преследующие противоположные цели. Такие ситуации называют «конфликтными ситуациями».

Для анализа конфликтных ситуаций был разработан математический аппарат – теория игр. Теория игр – это математическая теория, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников, и вырабатывающая рекомендации по рациональному образу действий каждого участника.

Игра – это формализованная модель реальной ситуации, описывающая действия двух или нескольких участников, выполняемые по определенным правилам. Примерами игр являются шахматы, футбол, карточные игры. Игра заканчивается выигрышем (победой) одного из игроков. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Далее будем рассматривать только парные игры.

Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. В игре с нулевой суммой сумма выигрышей игроков всегда равна нулю.

Развитие игры во времени состоит из ряда последовательных этапов – «ходов» игроков. Ход игрока – это выбор одного из предусмотренных правилами игры действия игрока. Ходы делятся на случайные и личные. Случайный ход – это случайно выбранное действие, например, случайно выбранное число компьютером. Личный ход– это сознательный выбор игроком одного из возможных действий, например, выбор клетки в игре «крестики – нолики». Многие карточные игры относятся к играм смешанного типа, которые содержат как случайные, так и личные ходы, в отличие от шахмат, где все ходы – личные.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся в игре ситуации. Если каждый из игроков имеет конечное число стратегий, то игра называется конечной. Если число стратегий хотя бы одного игрока бесконечно, то игра называется бесконечной.

Найти решение игры – это значит для каждого игрока выбрать стратегию, удовлетворяющую условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии, и наоборот, второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, когда первый игрок придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны быть «устойчивыми», т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей оптимальной стратегии.

Если игра повторяется многократно, то в качестве цены игры определяется средний выигрыш (математическое ожидание) первого игрока за одну игру.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии каждого из игроков. При этом предполагается, что оба игрока считают своего партнера таким же разумным, как и самого себя, следовательно, в теории игр не учитываются элементы риска, присутствующие в реальных ситуациях.

Рассмотрим парную антагонистическую конечную игру, в которой первый игрок имеет m стратегий, а второй игрок имеет n стратегий. Такая игра называется игрой размерности m×n. Пусть X = – множество стратегий первого игрока, Y = – множество стратегий второго игрока. В результате выбора игроками любой пары стратегий иоднозначно определяется выигрышпервого игрока или проигрышвторого игрока. Предположим , что значенияизвестны для любой пары стратегийи. МатрицаA = (),i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, называется платежной матрицей или матрицей игры. Таким образом, любую конечную игру можно рассматривать как тройку объектов , гдеA – платежная матрица вида:

Y X			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Пример1. Составим платежную матрицу для следующей игры: У Ани 2 карты – белая и черная с цифрой 1 на каждой. У Бори тоже 2 карты, черная с цифрой 1, а белая с цифрой 0. Цвет и цифры обозначены только на одной стороне, так что их можно скрыть от противника. Аня и Боря одновременно открывают одну из своих карт. Если цвета совпадают, то выигрывает Аня сумму (в рублях), равную разности показанных цифр. Если же карты разного цвета, то эту сумму получает Боря.

Решение. Если оба показывают белые карты, то Аня выигрывает 1 – 0 =1 рубль. Если обе карты черные, то выигрыш Ани равен 1– 1 =0.

Если у Ани белая карта, а у Бориса черная, то проигрыш Ани равен нулю. В противоположном случае она проигрывает 1 – 0 =1 рубль. Получаем платежную таблицу:

Боря Аня	Б0	Ч1
Б1	1	0
Ч1	–1	0

Пример 2. Составим платежную матрицу для игры «Выбрасывание пальцев»: Эдвард и Фиона одновременно показывают друг другу один или два пальца. Если общее число показанных пальцев четное, то именно такую сумму в долларах выигрывает Эдвард. Если же было показано 3 пальца, то Фиона выигрывает 3 доллара.

Очевидно, у каждого из игроков имеется 2 стратегии – показать 1 или 2 пальца. Платежная таблица (выигрышей Эдварда) имеет вид:

Фиона Эдвард	1	2
1	2	–3
2	–3	4