Транспортная задача

1. Постановка задачи.

Важным частным случаем задачи линейного программирования является транспортная задача. Сформулируем ее в общем виде.

На m станциях отправления сосредоточено соответственноединиц однородного груза. Этот груз нужно доставить вn пунктов назначения в каждый из которых требуется соответственноединиц этого груза. Заданы стоимости перевозкиединицы груза из любого пунктав любой пунктТребуется составить такой план перевозок, при котором со всех станций был бы вывезен весь груз, потребности всех пунктов были бы удовлетворены и суммарные затраты на перевозку были бы минимальны.

Естественно считать что суммарный запас груза на всех станциях равен суммарной потребности всех станций назначения, то есть

(1)

Данные задачи можно свести в таблицу перевозок:

Пункты Станции		. . .		. . .		Запасы
		. . .		. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .		. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
		. . .		. . .
Потребности		. . .		. . .

Обозначим через количество единиц груза, перевозимого со станциив пункт. Тогда количество груза, которое планируется перевезти в пункт со всех станций, составит сумму

, и эта сумма равна . Получаем уравнение (2)=

С другой стороны количество груза, отправляемого со станции во все пункты, составит сумму

, и эта сумма должна быть равна .

Получаем уравнение (3) =

Записывая уравнения (2) и (3) для всех пунктов и всех станций , получим систему, содержащуюm + n уравнений:

Общая стоимость всех перевозок равна сумме

Мы построили математическую модель транспортной задачи и получили задачу линейного программирования в канонической форме: среди неотрицательных решений системы линейных уравнений (4) найти такое, при котором линейная функция S достигает наименьшего значения.

Транспортная задача, для которой выполняется условие (1), называется сбалансированной (закрытой). В противном случае транспортная задача называется несбалансированной (открытой).

Далее научимся решать сбалансированную задачу. Как и любая задача линейного программирования, транспортная задача может быть решена симплекс – методом. Однако система ограничений (4) задачи имеет особенности: коэффициенты при переменных во всех уравнениях равны нулю или единице и каждая переменная входит в (4) ровно 2 раза – один раз в «горизонтальное» уравнение типа (3), другой раз в «вертикальное» уравнение типа (2). Это позволяет решить задачу симплекс–методом без симплекс–таблиц, используя только таблицу перевозок.

Прежде всего, заметим, что сбалансированная транспортная задача всегда имеет неотрицательное решение.

Теорема 1. Если выполняется условие (1), то система (4) имеет неотрицательное решение

Действительно при подстановке указанных значений переменных в любое уравнение системы (4) получается верное числовое равенство.

Так как функция S  0 и непрерывна на множестве неотрицательных решений системы (4), то сбалансированная задача всегда имеет оптимальное решение. Чтобы найти это решение симплекс–методом, надо знать число базисных переменных – ранг системы (4).

Теорема 2. Ранг R системы ограничений сбалансированной транспортной задачи вычисляется по формуле: R = m + n - 1.

Доказательство. В системе (4) m + n уравнений. Если сложить почленно первые m «горизонтальных» уравнений и из полученной суммы отнять все «вертикальные» уравнения кроме последнего, то в силу равенства (1) получим последнее «вертикальное» уравнение. Это означает, что последнее уравнение системы (4) есть линейная комбинация остальных n+m-1 уравнений, значит ранг R  m+n-1.

Теперь докажем, что ранг R  m+n-1. Из алгебры известно, что если некоторые k переменных системы линейных уравнений можно выразить через остальные переменные системы, то ранг такой системы не меньше k. В качестве этих m+n-1 переменных возьмем переменные, которые соответствуют клеткам первой строки и первого столбца таблицы перевозок: (6) . Для переменныхнайдем выражения через переменные, не входящие в (6) из соответствующих «вертикальных» уравнений (2):

Для переменных найдем выражения через переменные, не входящие в (6) из соответствующих «горизонтальных» уравнений (3):

Наконец, чтобы выразить через переменные, не входящие в список (6), воспользуемся первым «горизонтальным» уравнением

=

и подставим в него найденные выражения для переменных . Таким образом, мы выразилиm+n-1 переменных из списка (6) через остальные переменные системы, поэтому ранг R  m+n-1. Из доказанных двух неравенств получаем, что R = m + n - 1.

Решая транспортную задачу симплекс–методом, будем вписывать значения базисных переменных построенного базисного решения в соответствующие клетки таблицы перевозок. Будем эти клетки называть базисными, а клетки, соответствующие свободным переменным, – свободными. В следующем разделе рассмотрим способы построения допустимого базисного решения сбалансированной транспортной задачи, необходимого для начала ее решения симплекс–методом.