2. Построение начального допустимого базисного решения

Одним из методов построения начального базисного решения системы ограничений транспортной задачи является метод «северо – западного» угла, сущность которого покажем на следующем примере.

Транспортная задача задана таблицей:

Пункты Станции					Запасы груза на станциях
	1	2	3	4
1	4	7	12	3	100
2	5	7	9	2	80
3	6	1	3	9	60
Потребности	70	40	60	70

Ранг системы ограничений этой задачи равен 3 + 4 – 1 =6. Попытаемся заполнить 6 клеток таблицы перевозок неотрицательными числами, начиная с «северо – западной» клетки, соответствующей переменной , так, чтобы они в совокупности с нулевыми значениями остальных «свободных» клеток образовали базисное решение системы.

Пытаемся удовлетворить потребности первого пункта (70 единиц) запасами первой станции (100 единиц). В нашем случае это можно сделать, так как 100 > 70. Впишем в клетку число 70. Потребности первого пункта полностью удовлетворены, поэтому столбец, соответствующий первому пункту, можно временно исключить из таблицы, а запасы грузана первой станции сократились до 30 единиц.

Переменную можно считать базисной, так как ее можно выразить через остальные переменные, входящие в первое вертикальное уравнение, соответствующее удаляемому первому столбцу таблицы:

(8) = 70 – (++… +).

Можно считать, что мы пришли к новой задаче, определяемой таблицей с тремя станциями и тремя пунктами потребления, причем она снова сбалансированная, так как сумма запасов груза на всех станциях 170 равна сумме потребностей всех оставшихся пунктов.

К новой таблице применим тот же прием и попытаемся заполнить новую «северо – западную» клетку , удовлетворяя потребности второго пункта= 40 запасами=30 первой станции. Это можно сделать лишь частично, так как 30 < 40. Поэтому впишем в клеткучисло 30, при этом потребности второго пункта сократятся до, а запасы первой станции окажутся исчерпанными полностью. Следовательно, из таблицы можно временно удалить первую строку, а переменнуювыразить из соответствующего первого горизонтального уравнения через остальные переменные,, которые можно считать свободными, а вместо переменнойподставить уже найденное для нее выражение (8) через свободные переменные. Поэтому переменнуюможно считать базисной.

В полученной таблице размера 2*3 снова находим «северо –западную» клетку и т. д. В результате получим следующую таблицу, в которой заполнено 6 клеток (на каждом шаге, кроме последнего – шестого, мысленно исключается столбец или строка, а на последнем сразу строка и столбец).

Пункты Станции					Запасы груза на станциях
	1	2	3	4
1	70	30			100
2		10	60	10	80
3				60	60
Потребности	70	40	60	70

Из предыдущих рассуждений следует, что последовательность чисел = (70, 30, 0, 0, 0, 10, 60, 10, 0, 0, 0, 60) является базисным решением системы ограничений рассматриваемой задачи. Стоимость всех перевозокS = =1660.

Проведенные на примере рассуждения носят общий характер и применимы к любой сбалансированной задаче. Сформулируем в общем виде правила построения допустимого базисного решения транспортной задачи методом «северо – западного» угла:

1. Пытаемся удовлетворить потребности первого пункта запасамипервой станции. При этом возможны 3 случая:

1.1) >; 1.2)<; 1.3)=.

В случае 1.1) потребности первого пункта можно полностью удовлетворить запасамипервой станции. Вписываем в клеткучислои временно исключаем из рассмотрения первый столбец таблицы. В результате приходим к более простой задаче, в которой суммарное число станций и пунктов потребления уменьшилось на единицу , причем запасы груза первой станции равны=-.

В случае 1.2) вписываем в клетку числои временно исключаем из рассмотрения первую строку таблицы. В результате приходим к более простой задаче, в которой суммарное число станций и пунктов потребления опять уменьшилось на единицу, причем потребности груза первого пункта уменьшились до=-.

В случае 1.3) полагаем ==. При этом потребностипервого пункта полностью удовлетворены, и запасы первой станции полностью исчерпаны. В этом случае исключим временно из рассмотрения либо первую строку, либо первый столбец, но не то и другое вместе. Например, исключим первый столбец, а запасы груза первой станции считаем равными нулю. В результате приходим снова к более простой задаче, в которой суммарное число станций и пунктов потребления опять уменьшилось на единицу.

Во всех трех случаях вопрос об отыскании допустимого базисного решения транспортной задачи мы сводим к аналогичному вопросу для задачи, в которой суммарное число станций и пунктов потребления на единицу меньше, чем в исходной задаче.

2) Повторяем операцию, описанную в правиле 1) с «северо – западной» клеткой в полученной таблице и т.д. В результате получим допустимое базисное решение задачи.

Существенный недостаток метода «северо – западного» угла заключается в том, что он не учитывает тарифы перевозок, начиная построение базисного решения с заполнения верхней левой клетки таблицы. Однако метод допускает модификацию, лишенную этого недостатка: на каждом шаге надо выбирать для заполнения числом не «северо – западную» клетку, а клетку, имеющую минимальный тариф. При таком способе выбора базисных клеток обычно (но не всегда!) получается базисное решение с меньшей суммарной стоимостью всех перевозок, чем решение, построенное методом «северо – западного» угла.

Указанная модификация метода получила название метода «наименьшей стоимости ». Применим этот метод для построения допустимого базисного решения рассмотренной выше задачи.

Начинаем строить решение с клетки (3,2) с наименьшим тарифом, равным единице. Полагаем =min(80,40) = 40 и удаляем временно из таблицы второй столбец, полагая = 60-40 = 20. Теперь клетка с наименьшим тарифом, равным двум– клетка(2,4). В эту клетку записываем число , и, а запасы второй станции считаем равными десяти и эту строку сохраняем. Затем рассматриваем клетку (3,3) с наименьшим тарифом, равным трем и т.д. Получаем заполненную таблицу:

Пункты Станции					Запасы груза на станциях
	1	2	3	4
1	70		30		100
2			10	70	80
3		40	20		60
Потребности	70	40	60	70

Построенная по методу наименьшей стоимости система чисел

= (70, 0, 30, 0, 0, 0, 10, 70, 0, 40, 20, 0) является базисным решением системы ограничений рассматриваемой задачи. Стоимость всех перевозок S = =970, значительно меньше чем при базисном решении, полученным методом «северо – западного» угла.