7. Решение игры размера m×n с помощью линейного программирования
В общем случае игра размера m×n не имеет геометрической интерпретации, и для нее нет аналитического решения. Однако теория игр тесно связана с линейным программированием. Любая конечная игра с нулевой суммой может быть представлена в виде задачи линейного программирования и, наоборот, любая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра. Первым установил эту связь американский математик Д. Нейман. Покажем, свести решение игры размера m×n к решению задачи линейного программирования.
Пусть игра задана платежной матрицей A:
A
=
,i
= 1, 2,…, m;
j
= 1, 2, …, n.
Можно считать,
что цена игры V
> 0; этого можно добиться, увеличив все
элементы матрицы A
на достаточно большое положительное
число k.
При этом преобразовании матрицы A
цена игры также увеличится на k.
Оптимальная стратегия первого игрока
,
=1,
обеспечивает ему средний выигрыш, не
меньший, чем цена игрыV,
при любой чистой j
= 1, 2, …, n
стратегии второго игрока, поэтому
получаем систему n
линейных неравенств:
(1)
Разделим каждое
из неравенств на число V
> 0 и введем новые переменные
,
определяемые по формуле:
Так как
=1,
то
=
.
Система (1) примет вид:
(3)
Цель первого игрока
– максимизировать
свой выигрыш, т.е. цену игры V.
Это эквивалентно тому, что ему требуется
минимизировать величину
=
.
Тогда задачу первого игрока можно
сформулировать так: найти неотрицательные
значения переменных
,
удовлетворяющие системе линейных
неравенств (3), при которых линейная
функцияz
= 
принимает минимальное значение. Мы
получили задачу линейного программирования.
Решив ее симплекс– методом, перейдем,
используя формулы (2), к старым переменным
и получим оптимальную стратегию
первого игрока и цену игры V.
Для определения оптимальной стратегии второго игрока:
,
=1,
следует учесть, что она обеспечивает ему средний проигрыш не больший, чем цена игры V, при любой чистой i = 1, 2, …, m стратегии первого игрока, поэтому получаем систему m линейных неравенств:
(4)
Разделим каждое
из неравенств на число V
> 0 и введем новые переменные
,
определяемые по формуле:
Так как
=1,
то
=
.
Система (4) примет вид:
(6)
Цель второго игрока
– минимизировать
свой проигрыш, т.е. цену игры V.
Это эквивалентно тому, что ему требуется
максимизировать величину
=
.
Тогда задачу второго игрока можно
сформулировать так: найти неотрицательные
значения переменных
,
удовлетворяющие системе линейных
неравенств (6), при которых линейная
функцияf
= 
принимает минимальное значение. Мы
снова получили задачу линейного
программирования. Решив ее симплекс–
методом, перейдем, используя формулы
(5), к старым переменным
и получим оптимальную стратегию
второго игрока.
Отметим, что задача для второго игрока с системой ограничений (6) является двойственной к задаче первого игрока с системой ограничений (3).
Пример 4. Найти решение игры с платежной матрицей
A
=
Для решения игры применим систему компьютерной алгебры Maple. Подключим модуль simplex, зададим систему неравенств (3) под именем sn, определим функцию z = t1+t2+t3 и найдем оптимальное решение задачи линейного программирования с помощью стандартной функции mininmize:
> with(simplex);
>sn:={7*t1+6*t2+5*t3>=1, 6*t1+7*t2+8*t3>=1, 7*t1+9*t2+4*t3>=1,
5*t1+8*t2+6*t3>=1};
> z:=t1+t2+t3;
> minimize(z, sn, NONNEGATIVE); {t3 = 0, t2 = 1/13, t1 = 1/13}
Так как t1+
t2
+ t3
= 2/13 =
,
то цена игры V
= 6,5 и, используя формулу (2), находим :
t1*V
= 0,5, 
t2*V
= 0,5, 
0.
Для вычисления оптимальной стратегии второго игрока, снова применим Maple, задавая систему (6) под именем cn и максимизируя функцию f = z1+z2+z3+z4:
> with(simplex);
>cn:={7*z1+6*z2+7*z3+5*z4<=1, 6*z1+7*z2+9*z3+8*z4<=1,
5*z1+8*z2+4*z3+6*z4<=1};
> f:=z1+z2+z3+z4;
> maximize(f, cn, NONNEGAT IVE}; {z2 =1/13, z1 =1/13, z4 = 0, z3 = 0}
Так как цена игры V = 6,5, то, используя формулу (5), находим:
z1*V
= 0,5, 
t2*V
= 0,5, 
0, 
0.
Ниже приводится программа вычисления решения игры симплекс–методом. Предполагается, что размеры платежной матрицы не превышают 20. Информация о платежной матрице хранится в текстовом файле ‘input.txt’. В его первой строке записаны 2 целых числа – размеры m и n. Далее в m строках располагаются элементы платежной матрицы A по n чисел в каждой строке. Для определенной выше игры файл ‘input.txt’ имеет вид:
3 4
7 6 7 5
6 7 9 8
5 8 4 6
Процедура readf считывает данные из файла и выводит эти данные на экран. Процедура sedlo проверяет, имеет ли платежная матрица седловую точку и выводит чистые оптимальные стратегии игроков, если игра с седловой точкой. В противном случае с помощью процедуры change все элементы платежной матрицы увеличиваются на одну и ту же величину, так, чтобы они стали все положительными; далее матрица расширяется и преобразуется в матрицу коэффициентов соответствующей задачи линейного программирования.
Процедура simplex находит решение задачи линейного программирования. В основной части программы из этого решения по рассмотренным выше формулам вычисляются оптимальные смешанные стратегии игроков и цена игры:
program game;
{$N+} {$R-}
uses crt;
type te=extended;
const nn=20;mm=20;
var a:array[1..mm,1..nn] of te; t,i,j,m,n:integer;
p:array[1..mm] of te; q:array[1..nn] of te;
z,min,v:te; h:boolean; f:text;
procedure readf;
begin assign(f,'input.txt');
reset(f); readln(f,m,n);
for i:=1 to m do
for j:=1 to n do read(f,a[i,j]);
close(f);
writeln('РАЗМЕРЫ ИГРЫ: m=',m,' n=',n) ;
writeln(' ПЛАТЕЖНАЯ МАТРИЦА ИГРЫ: ') ;
for i:=1 to m do
begin
for j:=1 to n do write(a[i,j]:4:1); writeln
end
end;
procedure sedlo;
var i,j,k,l,q:integer; t,b:boolean;
p:array[1..nn] of integer; min:te;
begin i:=1; t:=false;
while (i<=m) and (not t) do
begin min:=a[i,1]; q:=1;
for j:=2 to n do
if min>a[i,j] then begin min:=a[i,j]; q:=j
end;
k:=0;
for j:=1 to n do if a[i,j]=min then
begin k:=k+1; p[k]:=j
end;
for l:=1 to k do
begin b:=true;
for j:=1 to m do
if a[i,p[l]]<a[j,p[l]] then
begin b:=false; j:=m
end;
if b then
begin writeln('есть седловая точка');
writeln('цена игры=',a[i,q]:4:2);
writeln('опт. стратегия 1 игрока: ',i);
writeln('опт. стратегия 2 игрока: ',p[l]);
readln; readln;
t:=true; l:=k;
end;
end;
i:=i+1;
end; h:=t;
if (not t) then
begin writeln('седловой точки нет');
writeln('ищем смешанные оптимальные стратегии');
end
end;
procedure change;
begin
for i:=1 to m do p[i]:=0;
for j:=1 to n do q[j]:=0;
min:=0;
for i:=1 to m do
for j:=1 to n do
if A[i,j]<min then min:=a[i,j]; writeln;
min:=min-1;
for i:=1 to m do
for j:=1 to n do
a[i,j]:=a[i,j]-min;
t:=m+n+1;
for i:=1 to (m+1) do
for j:=(n+1) to m+n do a[i,j]:=0;
for j:=1 to n do a[m+1,j]:=-1;
for i:=1 to m do
begin a[i,n+i]:=1; a[i,t]:=1;a[i,t+1]:=0
end;
a[m+1,t]:=0;
end;
procedure simplex;
var s,r:integer; c,w:te; b:boolean;
begin writeln;
s:=1;
for j:=2 to n+m do
if a[m+1,j]<a[m+1,s] then s:=j;
if a[m+1,s]<0 then
begin
b:=true;
repeat r:=0;
repeat
r:=r+1
until a[r,s]>=1.0e-20;
for i:=r+1 to m do
begin c:=a[r,n+m+1]/a[r,s];
if a[i,s]>=1.0e-20 then
if a[i,t]/a[i,s]<c then r:=i
end;
a[r,t+1]:=s;
if s>n then a[r,t+1]:=0;
w:=a[r,s];
for j:=1 to t do
a[r,j]:=a[r,j]/w;
for i:=1 to m+1 do
begin if i<>r then
begin
w:=a[i,s];
if abs(w)>=1.0e-20 then
for j:=1 to t do a[i,j]:=a[i,j]-a[r,j]*w
end;
end; s:=1;
for j:=2 to n+m do
if a[m+1,j]<a[m+1,s] then s:=j;
if a[m+1,s]<0 then b:=false else b:=true
until b;
end;
end;
begin clrscr;
readf;
writeln;
sedlo;
if not h then
begin
change;
simplex;
v:=1/a[m+1,n+m+1];
for i:=1 to m do
p[i]:=a[m+1,n+i]*v;
for j:=1 to n do
q[round(a[j,t+1])]:=a[j,t]*v;
writeln;
writeln('оптимальные стратегии первого игрока:');
for i:=1 to m do
write(p[i]:4:3,' ' ); writeln;
writeln('оптимальные стратегии второго игрока:');
for j:=1 to n do
write(q[j]:4:3,' '); writeln;
writeln('цена игры (для первого игрока): ',(v+min):4:3);
end ; readkey
end.
В некоторых случаях
игру размера m×n
можно упростить, удаляя «доминируемые»
стратегии игроков. Стратегия с номером
i
первого игрока доминируется k
– той его стратегией, если все элементы
строки i
платежной матрицы не больше соответствующих
элементов строки k,
т.е.
дляj
= 1,2, …, n.
Поэтому доминируемая i
– тая стратегия первого игрока хуже
его k
– тoй
стратегии и ее можно не использовать в
игре. Аналогично определяется доминируемая
стратегия второго игрока, приносящая
ему больший проигрыш, чем другая его
стратегия.
Пример 5. Найти решение игры с платежной матрицей
A
=
Решение. Третья
стратегия первого игрока доминируется
второй, поэтому ее можно отбросить.
После этого третья и четвертая стратегии
второго игрока доминируются его второй
стратегией, и их также можно удалить.
Получаем игру размера 2×2
с платежной матрицей
=
.
Эта игра без седловой точки
и легко решается аналитически:
,
цена игры V=6,25,
.