3. Графический метод решения задачи нелинейного программирования

В общем виде задача нелинейного программирования (ЗНП) формулируется следующим образом: найти решение X*= системы ограничений

(6)

при котором целевая функция

(7)

принимает наибольшее (или наименьшее) значение. Предполагается , что хотя бы одна из функций в (6) или в (7) не линейна.

Для ЗНП в отличие от ЗЛП нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции (7) и системы ограничений (6) разработаны специальные методы решения, например, метод множителей Лагранжа для ЗНП с системой ограничений, состоящей только из уравнений, и при условии, что все функции в (6) и (7) имеют непрерывные частные производные.

В ЗНП разыскивается наибольшее или наименьшее значение целевой функции – ее глобальный максимум или глобальный минимум. Однако целевая функция может иметь локальные экстремумы, что затрудняет решение ЗНП, так как большинство существующих методов нелинейного программирования не позволяет установить, является ли найденный экстремум локальным или глобальным.

ЗНП с двумя переменными может быть решена графически, как было показано в предыдущих разделах. Графическое решение задачи может быть разбито на следующие части:

1. В прямоугольной системе координат определяется область решений системы (6).

2. Определяется тип линий уровня целевой функции .

3. Находится линия уровня целевой функции с наибольшим (или наименьшим) значением уровня или устанавливается неразрешимость задачи из-за неограниченности функции на множестве решений системы (6).

4. Определяются координаты точки области решений системы (6), через которую проходит линия уровня, найденная в пункте 3.

Пример. Найти неотрицательное решение системы неравенств

(8)

при котором функция имеет наибольшее значение.

Решение. Область неотрицательных решений системы (8) состоит из двух частей – криволинейных четырехугольников ABCD и EFGH (рис. 1.3), ограниченных осями координат, прямыми , и и гиперболой

Линиями уровня функции = c являются окружности с центром в начале координат O(0, 0). Окружность наибольшего радиуса, имеющая общие точки с областью решений системы (8), пройдет либо через точку D, либо через точку F, так как эти точки наиболее удалены от начала координат. Найдем координаты точек D и F, решая системы

и получим, что D = (2/3, 6) и F = (7, 4/7).

D) = 36, F) =49,

следовательно, maxF) = 49, , .

4. Метод множителей Лагранжа

Жозеф Луи Лагранж родился в Турине (Италия) в итало-французской семье. Он учился, а затем преподавал в Артиллерийском училище. В 1759 г. по рекомендации Эйлера 23-летнего Лагранжа избирают в члены Берлинской академии наук. В 1766 г. он уже стал ее президентом. Фридрих II пригласил Лагранжа в Берлин. После смерти Фридриха II в 1786 г. Лагранж переехал в Париж. С 1722 г. он был членом Парижской академии наук, в 1795 г. его назначили членом Бюро долгот, и он принял активное участие в создании метрической системы мер. Круг научных исследований Лагранжа был необычайно широк. Они посвящены механике, геометрии, математическому анализу, алгебре, теории чисел, а также теоретической астрономии. Основным направлением исследований Лагранжа было представление самых различных явлений в механике с единой точки зрения. Он вывел уравнение, описывающее поведение любых систем под действием сил. В области астрономии Лагранж много сделал для решения проблемы устойчивости Солнечной системы; доказал некоторые частные случаи устойчивого движения, в частности для малых тел находящихся в так называемых треугольных точках либрации.

Жозеф Луи Лагранж (1736–1813)

Метод Лагранжа ─ это метод решения задачи условной оптимизации, при котором ограничения, записываемые как неявные функции, объединяются с целевой функцией в форме нового уравнения, называемого лагранжианом.

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования:

Дана система нелинейных уравнений (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Найти наименьшее (или наибольшее) значение функции (2)

(2) f (х1,х2,…,хn ),

если отсутствуют условия неотрицательности переменных и f(х1,х2,…,хn ) и gi(x1,x2,…,xn) ─ функции, непрерывные вместе со своими частными производными.

Чтобы найти решение этой задачи, можно применить следующий метод: 1. Вводят набор переменных λ1, λ2,…, λm, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn )+λi [bi-gi (x1,x2,…,xn)].

2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xi и λi и приравнивают их нулю.

3. Решая систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4.Среди точек, подозрительных не экстремум, находят такие, в которыхдостигается экстремум, и вычисляют значения функции в этих точках.

4. Сравнить полученные значения функции f и выбрать наилучшее.

Задача:

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х1 изделия I способом затраты равны 4*х1+х1^2 руб., а при изготовлении х2 изделий II способом они составляют 8*х2+х2^2 руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

Решение: Математическая постановка задачи состоит в определении наименьшего значения функции двух переменных:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условии x1 +x2 = 180.

Составим функцию Лагранжа:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Вычислим ее частные производные по х1,х2, λ и приравняем их к 0:

Перенесем в правые части первых двух уравнений λ и приравняем их левые части, получим 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.

Решая последнее уравнение совместно с уравнением x1 + x2 = 180, находим x1 = 91, x2 = 89, то есть получили решение, удовлетворяющее условиям:

x1, x2 ≥ 0.

Найдем значение целевой функции f при этих значениях переменных:

F(x1, x2) = 17278

Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке (91,89) функция f имеет минимум.

Можно сравнить это значение со значением f в соседних точках:

f(90,90) = 17280 >17278 =f(91,89).

Для решения системы линейных уравнений можно использовать пакет Maple, в котором есть процедура solve(s, {mn}), где s − имя системы уравнений, mn − множество имен переменных:

> s:={4+2*x1-L=0, 8+2*x2-L=0, 180-x1-x2=0};

> solve(s,{x1,x2,L});