9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора

Для нахождения собственных векторов линейного оператора надо найти решения уравнения (х) = λx, в котором неизвестными величинами являются собственные значения λ линейного оператора  и ненулевые векторы x.

Для нахождения собственных значений линейного оператора  используется следующая теорема.

Теорема 9.13. Множество собственных значений линейного оператора  совпадает с множеством собственных значений его матрицы.

Доказательство. Пусть λ – собственное значение линейного оператора . Это означает, что существует ненулевой вектор x, такой что (х) = λx. Из этого векторного равенства вытекают следующие матричные равенства:

[(х)] = [λx]  M()[x] = λ[x]  M()[x] – λE[x] = [0] 

(M() – λE)[x] = [0]. ()

Равенство () является матричной формой записи однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M() – λE, причем эта система по условию имеет ненулевые решения. Условие существования ненулевых решений – равенство нулю определителя основной матрицы системы, следовательно, выполнятся равенство: |M() – λE| = 0, из которого следует, что λ – собственное значение матрицы M() линейного оператора (х) = λx.

Обратно, пусть λ – собственное значение матрицы M() линейного оператора , то есть |M() – λE| = 0. Из этого равенства следует, что система однородных линейных уравнений () имеет ненулевые решения. Следовательно, существует ненулевой вектор x, такой что (х) = λx и λ – собственное значение линейного оператора .

9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора

1. Найти собственные значения линейного оператора как собственные значения его матрицы

2. Для каждого из найденных собственных значений ₀ находим собственные векторы, решая однородную систему линейных уравнений () с основной матрицей M() – λ₀E.

3. Множество равно линейной оболочке фундаментального набора решений этой системы за исключением нулевого вектора.

Пример 9.7. Найти собственные векторы линейного оператора с матрицей M() = .

Решение. Находим собственные значения матрицы линейного оператора, для чего решаем уравнение |M() – λE| = 0.

= (2–)(–1)^3 + 3 = (2 – )((–)(4 – ) – (–4)) = 

= (2 – )(² – 4 + 4) = (2 – )( – 2)² = (2 – )³ = 0  ₁ = ₂ = ₃ = 2.

Итак, получили f(λ) = (2 – )³ – характеристический многочлен матрицы M(); (2 – )³ = 0 – характеристическое уравнение матрицы M(); ₁ = ₂ = ₃ = 2 – собственные значения матрицы M(), т. е. это собственные значения линейного оператора .

Собственное значение у этого линейного оператора только одно, поэтому решаем только одну однородную систему линейных уравнений с матрицей .

.

Выпишем общее решение этой системы х₁ = (х₂ + 0х₃) и составим фундаментальный набор решений

	х1	х2	х3
с1	1	2	0
с1	0	0	1

с₁ = (1, 2, 0), с₂ = (0, 0, 1).

Ответ. Множество собственных векторов с собственным значением λ = 2 это множество L = L(с₁, с₂)\{o} = {k₁c₁ + k₂c₂, }.