Процесс ортогонализации

Теорема 8.12. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть а₁, а₂, …, а_n – произвольный базис евклидова пространства Е. Доказательство заключатся в описании алгоритма построения ортогонального базиса по данному базису. Этот алгоритм называется процессом ортогонализации. Пусть b₁ = a₁, b₁ ≠ 0 (т. к. а₁ ≠ 0). Положим b₂ = a₂ + ₁b₁. Подберем коэффициент ₁ так, чтобы b₂ ≠ 0 стал ортогонален b₁;

(b₁, b₂) = 0  (b₁, a₂ + ₁b₁) = 0  (a₂ + ₁b₁, b₁) = 0  (a₂, b₁) + ₁(b₁, b₁) = 0, т. к. b₁ ≠ 0, то (b₁, b₁) ≠ 0  ₁ = .Вектор b₂ не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией линейно независимых векторов a₁ и a₂.

Положим, далее b₃ = a₃ + ₁b₁ + ₂b₂. Подберем ₁ и ₂ так, чтобы b₃ ≠ 0 оказался ортогонален b₁ и b₂, для чего должны выполняться условия (b₁, b₃) = 0, (b₂, b₃) = 0. Выполняя преобразования, получим, что ₁ = , ₂ = . Вектор b₃ не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией векторов а₁, а₂, а₃.

Продолжая этот процесс, получим систему векторов b₁, b₂, …, b_n, и так как эти векторы ненулевые и попарно ортогональны, то по теореме 8.11 они линейно независимы, а значит образуют ортогональный базис.

Нормируя ортогональный базис b₁, b₂, …, b_n, получим ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства:

e₁ = b₁, e₂ = b₂, …, e_n = b_n.

Пример 8.12. Применить процесс ортогонализации к векторам а₁ = (2, –2, –2, 2), а₂ = (3, –1, –1, 3), а₃ = (2, –2, 0, 4).

Решение. Это задание можно сформулировать так: по данному базису подпространства построить ортогональный базис.

b₁ = а₁, b₁ = (2, –2, –2, 2);

b₂ = a₂ + ₁b₁, ₁ = === –1.Тогда b₂ = a₂ – b₁ = (1, 1, 1, 1).

b₃ = a₃ + ₁b₁ + ₂b₂, ₁ = == –1,₂ = == –1.Тогда b₃ = a₃ – b₁ – b₂ = (–1, –1, 1, 1).

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Дан ортонормированный базис e₁, e₂, …, e_n евклидова пространства V. Поскольку (e_i, e_j) = 0 при i ≠ j и (e_i, e_i) = 1, то

(x, y) = (e_i, e_j) = x₁y₁ + x₂y₂ + … + x_ny_n.

Вывод: скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат.

Ортогональное дополнение подпространства

V – евклидово векторное пространство, L – его подпространство.

Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L , если вектор а ортогонален любому вектору из подпространства L, т. е.

а  L  а  х,  х  L.

Определение 8.24. Ортогональным дополнением подпространства L называется множество L^* всех векторов, ортогональных подпространству L, то есть L^* = {x | x  L}.

Теорема 8.13. Ортогональное дополнение подпространства является подпространством.

Теорема 8.14. Прямая сумма подпространства L и его ортогонального дополнения L^* равна пространству V, т. е. L  L^* = V.

Пример 8.13. Найти ортогональное дополнение подпространства L, натянутого на векторы а₁ = (1, 1, 1, 1), а₂ = (–1, 1, –1, 1), а₃ = (2, 0, 2, 0).

Решение. Для того чтобы вектор x был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален векторам системы образующих этого подпространства. Пусть х = (х₁, х₂, х₃, х₄), запишем условие ортогональности этого вектора векторам а₁, а₂, а₃: (х, а₁) = 0, (х, а₂) = 0, (х, а₃) = 0. В координатной форме эти условия представляют собою однородную систему линейных уравнений: Множество решений этой системы представляет собою подпространство L^*, ортогональное подпространству L.

Решая систему, получим фундаментальный набор решений: с₁ = (–1, 0, 1, 0), с₂ = (0, –1, 0, 1). Эти векторы образуют базис множества решений системы, то есть базис L^*, т. о. L^* = L(с₁,с₂), dim L^* = 2.