8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса
Рассмотрим конечномерное векторное пространство V размерности n, векторы e1, e2, …, en образуют его базис. Пусть a – произвольный вектор пространства V, тогда вектор линейно выражается через векторы базиса, a = 1e1 + 2e2 + … + nen.
Теорема 8.8. Разложение вектора a по векторам базиса производится единственным образом.
Доказательство. Предположим, что вектор a можно разложить по векторам базиса двумя способами:
a = 1e1 + 2e2 + … + nen.
a = '1e1 + '2e2 + … + 'nen.
После вычитания из одного равенства другого, получим
(1 – '1) e1 + (2 – '2)e2 + … + (n – 'n)en = 0,
из чего в силу линейной независимости базисных векторов e1, e2, …, en следует, что 1 – '1 = 0, 2 – '2 = 0, …, n – 'n = 0, а затем что 1 = '1, 2 = '2, …, n = 'n. Таким образом, коэффициенты разложения определяются однозначно. Теорема доказана.
Определение 8.13. Координатами вектора a относительно базиса e1, e2, …, en называются коэффициенты разложения вектора a по базисным векторам.
Координаты
вектора принято записывать или в виде
строки координат (координатной строки)
– (1, 2, …, n),
или в виде координатного столбца:
[a] = 
.
Пример 8.7.
1) В
пространстве R22
вектор A = 
раскладывается
по векторам базиса Е1,
Е2,
Е3,
Е4
следующим образом: А = 2Е1 – Е2 + 4Е3 + 7Е4,
следовательно, координатная строка
этого вектора равна (2, –1, 4, 7).
2) В
пространстве выбран базис
а1 = (1,
3, –1), а2 = (–2,
1, 1),
а3 = (2,
–2, –1). Найти координаты вектора a = (3,
0, –2) относительно базиса а1,
а2,
а3.
Векторное равенство a = x1а1 + x2а2 + x3а3
перепишем в виде системы линейных
уравнений
Решая
эту систему, получим x1 = 1,
x2 = 1,
x3 = 2,
следовательно, координатная строка
вектора a
равна (1, 1, 2).
Каждому вектору a из произвольного векторного пространства V, в котором задан базис e1, e2, …, en, сопоставляется строка (или столбец) координат (1, 2, …, n), причем единственным образом. Если V пространство размерности n, то строка координат принадлежит пространству Rn, то есть возникает отображение: V Rn. Обратно, по строке координат (1, 2, …, n), (по вектору из Rn) единственным образом можно построить вектор a = 1e1 + 2e2+ … + nen. Для этого отображения верна следующая теорема.
Теорема 8.9. Если векторы а1, а2, …, аm из произвольного пространства V образуют линейно независимую систему векторов, то их строки (или столбцы) координат тоже линейно независимы.
8.3.4. Координаты вектора в различных базисах
Пусть V – n-мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e1, e2, …, en – старый базис, e'1, e'2, …, e'n – новый базис. У произвольного вектора a есть координаты в каждом из них:
a = 1e1 + 2e2+ … + nen;
a = '1e'1 + '2e'2+ … + 'ne'n.
Для того чтобы установить связь между столбцами координат вектора a в старом и новом базисах, надо разложить векторы нового базиса по векторам старого базиса:
e'1 = 11e1 + 21e2+ … + n1en,
e'2 = 12e1 + 22e2+ … + n2en,
………………………………..
e'n = 1ne1 + 2ne2+ … + nnen.
Определение 8.14. Матрицей перехода от старого базиса к новому базису называется матрица, составленная из координат векторов нового базиса относительно старого базиса, записанных в столбцы, т. е.
T = 
.
Столбцы матрицы T – это координаты базисных, а значит, линейно независимых, векторов, следовательно, эти столбцы линейно независимы. Матрица с линейно независимыми столбцами является невырожденной, ее определитель не равен нулю и для матрицы T существует обратная матрица T –1.
Обозначим столбцы координат вектора a в старом и новом базисах, соответственно, как [a] и [a]'. С помощью матрицы перехода устанавливается связь между [a] и [a]'.
Теорема 8.10. Столбец координат вектора a в старом базисе равен произведению матрицы перехода на столбец координат вектора a в новом базисе, то есть [a] = T [a]'.
Следствие. Столбец координат вектора a в новом базисе равен произведению матрицы, обратной матрице перехода, на столбец координат вектора a в старом базисе, то есть [a]' = T –1[a].
Пример 8.8. Составить матрицу перехода от базиса e1, e2, к базису e'1, e'2, где e'1 = 3e1 + e2, e'2 = 5e1 + 2e2, и найти координаты вектора a = 2e'1 – 4e'2 в старом базисе.
Решение.
Координатами новых базисных векторов
относительно старого базиса являются
строки (3, 1) и (5, 2), тогда матрица
T
примет вид
.
Так как [a]' = 
,
то [a] = 
= 
.
Пример 8.9. Даны два базиса e1, e2 – старый базис, e'1, e'2 – новый базис, причем e'1 = 3e1 + e2, e'2 = 5e1 + 2e2. Найти координаты вектора a = 2e1 – e2 в новом базисе.
Решение.
1 способ.
По условию даны координаты вектора а
в старом базисе: [a] = 
.
Найдем
матрицу перехода от старого базиса e1,
e2
к новому базису e'1,
e'2.
Получим матрицу Т = 
для нее найдем обратную матрицу T –1 = 
.
Тогда согласно следствию из теоремы 8.10
имеем [a]' = T –1[a] = 
= 
.
2 способ. Так как e'1, e'2 базис, то вектор а раскладывается по базисным векторам следующим образом a = k1e'1 – k2e'2. Найдем числа k1 и k2 – это и будут координаты вектора а в новом базисе.
a = k1e'1 – k2e'2 = k1(3e1 + e2) – k2(5e1 + 2e2) =
= e1(3k1 + 5k2) + e2(k1 + 2k2) = 2e1 – e2.
Так
как координаты одного и того же вектора
в данном базисе определяется однозначно,
то имеем систему:
Решая данную систему, получим k1 = 9
и k2 = –5,
т. о. [a]' = 
.