2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

340

Из классических соображений можно получить формулу

— формула Рэлея-Джинса. Из этой формулы следует

RT rω,T dω

0

— «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.

Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энергии.

Формула Рэлея-Джинса — частный случай формулы Планка при малых часто-

341

Лекция 44

6.3.6. Оптическая пирометрия

Оптическая пирометрия — совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются пирометрами.

Энергетическая сила света — поток излучения тела в определённом направлении (под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся на единичный телесный угол:

Энергетическая яркость — энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали к поверхности:

Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС. 44.1.

Спектральная плотность энергетической яркости — энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):

Радиационная температура Tр — температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:

85 Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин, которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическому излучению.

342

Яркостная температура Tя — температура чёрного тела, при которой его спектральная плотность энергетической яркости равна спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела для данной длины волны:

bλ0 Tя bλ .

Цветовая температура Tц — температура чёрного тела, при которой относительные распределения спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела и чёрного тела близки в видимой области спектра:

Цветовая температура серого тела совпадает с его истинной (термодинамической) температурой и может быть найдена из закона смещения Вина.

6.4. Электронный газ в металле

6.4.1. Общие положения. Модель свободных электронов

Электронные оболочки атомов, находящихся в узлах кристаллической решётки, перекрываются, в результате этого валентные электроны обобществляются и становятся свободными. Можно считать, что сила, с которой кристаллическая решётка, а также соседние электроны действуют на электрон, равна нулю. Поэтому в первом приближении электронный газ можно представить как коллектив нейтральных частиц с массой m = me, находящихся в сосуде объёмом, равном объёму образца металла.

Свойства электронного газа

1.Электроны находятся внутри потенциального ящика. Энергия электронов квантована.

2.Электронный газ вырожден (критическая температура Tкр ~ 5·104 К).

6.4.2. Распределение электронов по энергиям

Подсчитаем число электронов с энергией от εi до εi + dε. По определению функции распределения

f εi dNdgεi .

(Далее индекс i опускаем.) Число фазовых ячеек, в которых энергия частицы лежит от εi до εi + dε,

343

здесь V — объём образца, dΓp — элемент фазового объёма в подпространстве импульсов;

Выразим импульс электрона через его энергию:

Число электронов с энергией от ε до ε + dε

Рис. 44.2

344

6.4.3. Электронный газ при T = 0

1. Функции распределения электронов по энергетическим ячейкам и по энергиям

В потенциальной яме имеется система энергетических уровней. При T = 0 заполня-

энергетический уровень при T = 0 —– уровень Ферми, а энергия электрона, соответствующая этому уровню, — энергия Ферми εF. При T = 0 заполнены все энергетические ячейки с εi ≤ εF. Поэтому функция распределения по энергетическим ячейкам при T = 0

график этой функции изображён на РИС. 44.3А. С другой стороны, подставляя T = 0 в функцию распределения Ферми-Дирака, получим

здесь μ0 — химический потенциал электронного газа при T = 0. Таким образом,

1

Рис. 44.3

2. Расчёт энергии Ферми

Условие нормировки функции F(ε):

345

При T = 0

346

Найдём эффективную температуру классического идеального газа, внутренняя энергия 1 моля которого равна внутренней энергии 1 моля электронного газа при

T = 0:

Для сравнения: внутренняя энергия 1 моля классического идеального газа при

T = 300 К

Uид 32RT 3,7 кДж !

(Здесь R — универсальная газовая постоянная.)

Эффективная температура классического идеального газа при εF = 5 эВ

Tэфф 25 1,6 10 19 2 104К. 5 1,38 10 23

Между классическими и квантовыми представлениями огромная разница!

6.4.4. Влияние температуры на функции распределения

При повышении температуры от абсолютного нуля до T электрон приобретает энергию

ε kT .

Повышение температуры влияет на электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми в полосе шириной kT86.

Можно получить, что химический потенциал электронного газа

Так как kT << εF, можно считать, что μ ≈ εF.

Функция распределения электронов по фазовым ячейкам

При kT ~ εF функция распределения (44.2) превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана.

86 Это выражение нужно понимать так: энергия электронов отличается от уровня Ферми не более, чем на величину порядка kT.

Критическая температура электронного газа

а

2kT

F(ε)

б

Рис. 44.4

6.4.5. Теплоёмкость электронного газа

При T ≠ 0 средняя энергия электрона

349

Лекция 45

6.5. Электропроводность металлов

При возникновении в проводнике электрического поля напряжённостью E возникает электрический ток, т. е. упорядоченное движение электронов — дрейф. Сред-

няя скорость этого движения — скорость дрейфа u . Электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие уровни.

Найдём, как зависит дрейфовая скорость электрона от напряжённости электрического поля. Рассмотрим процесс резкого включения и выключения поля: после включения поля электроны не сразу разгоняются, а после включения не сразу останавливаются. Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменению поля.