2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

Спонтанные переходы всегда происходят сверху вниз (т. е. энергия атома уменьшается и излучается фотон).

Коэффициент спонтанного излучения Amn — вероятность спонтанного перехода атома из состояния m в состояние n (m > n).

Если в состоянии m находится Nm атомов, то за время dt в состояние n перейдёт

где N0m — число атомов в состоянии m в начальный момент времени (t = 0). При

Коэффициент вынужденного излучения Bmn — вероятность вынужденного пе-

рехода атома из состояния m в состояние n; коэффициент вынужденного поглощения Bnm — вероятность вынужденного перехода атома из состояния n в состояние m;

Схемы спонтанных и вынужденных переходов представлены на РИС. 41.1А, Б, В.

Amn, Bmn, Bnm — коэффициенты Эйнштейна.

Рис. 41.1

На РИС. 41.1Б волна б когерентна волне а.

5.8.3. Двухуровневая система

Пусть пучок света проходит через вещество, атомы которого могут находиться в двух состояниях: m и n. Падающий свет будет вызывать два процесса: переходы сверху вниз и снизу вверх. Первый процесс ведёт к усилению света, второй — к ослаблению.

В ТАБЛИЦЕ 41.1 представлены две возможные ситуации заполнения уровней m и n: обычная и инверсная заселённость.

321

5.8.4. Оптический квантовый генератор (лазер)

1. Рубиновый лазер

Рабочее тело – корунд (Al2O3) с примесью 0,03-0,05% хрома (Cr2O3) — рубин. На торцы рубинового стержня нанесено зеркальное напыление, они образуют параллельные зеркала, пропускающие 8% света (РИС. 41.2). Пространство между зеркалами играет роль резонатора. Источник энергии – импульсная ксеноновая лампа (с её помощью происходит оптическая накачка рубина).

Схема энергетических уровней рубина показана на РИС. 41.3.

При накачке ионы Cr3+ переходят из основного состояния 1 в возбуждённое состояние 3. Время жизни этого состояния мало. Так как A32 > A31, большая часть электронов переходит в состояние 2 (время жизни около 10–1 с). Создаётся инверсная заселённость уровней 2 и 1. Электрон может перейти с уровня 2 на уровень 1 (сверху вниз, A21) с излучением фотона. Этот фотон может вызвать вынужденное

323

6. Квантовая статистика. Физика твёрдого тела

6.1. Макросистемы и способы их описания. Фазовое пространство82

6.1.1. Макросистемы и способы их описания

Макросистема — система, состоящая из огромного числа частиц. Закрытая система — макросистема с постоянным числом N частиц. Открытая система —макросистема с переменным числом частиц.

Способы описания состояния макросистем

6.1.2. Термодинамическое описание состояния макросистемы

Термодинамическое описание — это описание состояния системы в целом.

Будем рассматривать равновесное состояние системы. Равновесное состояние

(состояние термодинамического равновесия) — состояние макросистемы, в

котором она может находиться сколь угодно долго при неизменных внешних условиях.

Термодинамические параметры (макропараметры) — параметры,

описывающие макросистему в целом: давление p, объём V, температура T, внутренняя энергия U, энтропия S и т. п. Термодинамические параметры можно определить для системы в целом только в её равновесном состоянии.

Q — количество теплоты, переданное системе, A — работа, совершённая системой.

dU TdS pdV .

Для открытой системы внутренняя энергия может изменяться и за счёт изменения числа частиц:

где μ — химический потенциал — термодинамический параметр системы. Его смысл прост. Для теплоизолированной (dS = 0) системы при V = const

82 Материал этого параграфа во многом повторяет содержание разделов 2.1.2, 2.1.3 и 2.6.2. Но так как рассматриваемые темы впервые изучались в I семестре, нужно повторить определение термодинамической системы и т. д.

324

[μ] = Дж.

Химический потенциал равен изменению внутренней энергии теплоизолированной системы постоянного объёма при увеличении числа её частиц на единицу.

Возможно μ 0. Для идеального газа μ < 0; для фотонного газа μ = 0.

Контакт двух теплоизолированных макросистем

Рис. 41.5

При контакте двух теплоизолированных макросистем с химическими потенциалами μ1 и μ2 (РИС. 41.5) поток энергии (энергия, переносимая сквозь границу между системами за какой-либо промежуток времени) слева направо на рисунке будет равен потоку энергии справа налево:

dN12, dN21 — число частиц, переходящих из системы 1 в систему 2 и наоборот за один и тот же малый промежуток времени. Так как dN12 = dN21,

— в состоянии термодинамического равновесия химические потенциалы макросистем равны.

6.1.3. Статистическое описание состояния макросистемы

Микропараметры — параметры, характеризующие состояние каждой частицы, входящей в состав макросистемы: масса, импульс, координата, энергия и т. п.

Задача статистической физики — установление связи между микро- и макропараметрами.

Пусть имеется система N тождественных, слабо взаимодействующих частиц (газ). Благодаря взаимодействию между частицами система может прийти в равновесное состояние.

Частицы, составляющие макросистемы

6.1.4. Фазовое пространство в классической физике

Фазовое пространство — 6-мерное пространство координат и проекций импульса: x, y, z, px, py, pz.

325

Каждой частице сопоставляется изобразительная точка, координаты которой в фазовом пространстве полностью характеризуют состояние частицы. Изобразительная точка движется по фазовой траектории.

ПРИМЕР

Это уравнение фазовой траектории частицы, которая имеет форму эллипса

(РИС. 41.6).

Для макросистемы из N частиц имеем шестимерное облако из N изобразительных точек. Таким образом полностью задаётся микросостояние системы. Нас интересует форма этого облака и распределение изобразительных точек в нём.

Разобьём фазовое пространство на ячейки объёма dγ = dxdydzdpxdpydpz (микросостояние частицы задаётся с соответствующей точностью). Микросостояние системы определяется плотностью заполнения ячеек с учётом индивидуальных номеров частиц.

Число микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние,

— статистический вес Ω макросостояния.

Равновесному состоянию соответствует макросостояние с максимальным статистическим весом, т. е. то, которое реализуется наибольшим числом микросостояний.

Пронумеруем частицы и ячейки. Таким образом, состояние определённой частицы будет задаваться номером фазовой ячейки, в которой находится соответствующая изобразительная точка. Будем обозначать энергию частицы в i-ой ячейке εi. Макросостояние системы будет определяться числом изобразительных точек в каждой ячейке без учёта индивидуальных номеров частиц.

ПРИМЕР

Распределение двух изобразительных точек (частиц) по двум фазовым ячейкам

329

где dN(εi) — число частиц, а dg(εi) — число ячеек, в которых энергия частицы принимает значения от εi до εi + dε.

Проведя термодинамический расчёт, можно получить функции распределения, которые приведены в ТАБЛ. 42.3 (k — постоянная Больцмана). Это распределение ча-

стиц по ячейкам εi, а не по энергиям ε!

6.1.7. Критерий вырождения газа

Индивидуальные свойства частиц влияют на поведение макросистемы только при

чиняется квантовой статистике. Подобный газ называется вырожденным.

стиц не важны и работают законы классической физики. Такой газ называется не-

вырожденным.

Параметром, который разграничивает вырожденный и невырожденный газ, является температура. Если T > Tкр, где T — критическая температура, то газ не вырожден. Если T < Tкр, то газ вырожден.

Можно показать, что

где n — концентрация газа, m0 — масса частицы.

Численная оценка

Для идеального газа, состоящего из молекул, Tкр ~ 5 К, т. е. этот газ при условиях, близких к нормальным, не вырожден.

Для электронного газа в металле Tкр ~ 5∙104 К, т. е. этот газ вырожден.