5.12 Применение квазилинейного метода для изучения автогенератора гармонических колебаний

Квазилинейным методом, в принципе, можно получить те же результаты, какие были получены методом медленно изменяющихся амплитуд в п. 5.11. Квазилинейный метод отличается меньшей математической формальностью в получении искомых уравнений на основе исходных нелинейных дифференциальных уравнений. Однако его реализация требует более детального понимания процессов в системе. Получающиеся решения носят более общий характер, так как их получение не связано с применением конкретных аппроксимаций ВАХ нелинейного элемента. Здесь широко применяются характеристики, свойственные инженерным расчетам, такие, как колебательные, средней крутизны, средней проводимости и т.д.

Анализ переходного и стационарного режимов с помощью дифференциальных уравнений. Пусть колебания автогенератора с трансформаторной связью описываются нелинейным дифференциальным уравнением:

(5.46)

где - резонансная частота высокодобротного колебательного контура в генераторе,.

Ищем приближенное решение уравнения (5.46) в виде: , где амплитудамедленно изменяется со временем так, что. Медленность изменения обусловлена высокой добротностью колебательного контура. Это позволяет пренебречь изменением амплитудыза время, меньшее или порядка периодаколебаний на резонансной частоте контура. Амплитудауспевает мало измениться при переходе от одного периода колебаний к другому. Тогда в соответствие с квазилинейным методом заменим приближенно в (5.46) нелинейную крутизнусредней крутизной иликрутизной по первой гармонике:

(5.48)

Получим уравнение

(5.60)

Замечание. Замена нелинейной крутизны на среднюю крутизну по первой гармонике в исходной нелинейной системе (5.3) соответствует приближенной замене спектральных разложений токаи напряжения, соответствующих точному решению системы (5.3), на первые гармоники этих разложений.

В стационарном режиме, когда амплитуда - постоянная (), подстановка решения:, в (5.60) дает уравнение для определения амплитуды стационарных гармонических колебаний:

(5.61)

Одно из возможных решений уравнения (5.61) соответствует состоянию покоя: . При заданной функцииостальные возможные стационарные решения определяются уравнением

(5.62)

Из (5.62), в частности выражается значение средней крутизны в стационарном состоянии:

(5.63)

Уравнение (5.60) позволяет найти также условия устойчивости стационарного режима и вывести уравнение, пригодное для расчета переходных процессов в генераторе. В качестве эквивалентной схемы уравнению (5.60) поставим в соответствие нелинейный колебательный контур с эффективным коэффициентом затухания

(5.64)

В стационарном состоянии собственные положительные потери контура точно компенсируются отрицательными потерями, вносимыми в контур действием положительной обратной связи. Математически этому соответствует выполнение равенства (5.62), то есть . Пусть из-за флуктуаций амплитуда колебаний слабо увеличилась по сравнению со стационарным значением:. Коэффициент затухания контура станет отличным от нуля. Амплитуда колебаний станет изменятьсясо временем. Стационарное состояние устойчиво, если амплитудапристанет уменьшаться. Это произойдет, если, или в соответствии с (5.64) – при. Так как, то отсюда вытекает условие устойчивости стационарного режима:

(5.65)

Вывод. Стационарный режим автоколебаний устойчив, если производная средней крутизны нелинейного элемента по амплитуде напряжения отрицательна.

При изучении переходного процесса за время порядка или меньше периода колебаний на резонансной частоте контура можно пренебречь изменением коэффициента затухания. На таких временах решение уравнения (5.60) можно представить с учетом (5.64) как. Дифференцируя последнее соотношение, получим:, или с учетом (5.64):

(5.66)

Из (5.66) с учетом (5.63) окончательно получим уравнение, решение которого определяет изменение амплитуды при установлении колебаний:

(5.67)

Условия баланса амплитуд, фаз и мощностей в стационарном режиме. Применение квазилинейного метода позволяет анализировать стационарные режимы автоколебаний, даже не прибегая к решению дифференциальных уравнений.

Рассмотрим автогенератор с высокодобротной колебательной системой (см., например, рис. 5.2).

---

Рис. 5.2

Этот автогенератор состоит из нелинейного элемента - лампы, и линейной части – катушки связи и колебательного контура. В соответствии с квазилинейным методом под токами и напряжениями в цепи будем понимать первые гармоники спектров соответствующих величин. Для анализа стационарного режима применим метод комплексных амплитуд. В качестве крутизны нелинейного элемента возьмем приближенно среднюю крутизну по первой гармонике. Из схемы рис. 5.2 имеем:

(5.68)

где - эквивалентное сопротивление колебательного контура,- коэффициент передачи цепи обратной связи,

(5.69)

где для высокодобротного контура

(5.70)

Первое из выражений (5.68) подставим во второе, получим уравнение

(5.71)

связывающее комплексные амплитуды первой гармоники напряжения на сетке и анодного тока. Для лампы, используя понятие средней крутизны, имеем:

(5.72)

где - комплексная средняя крутизна.

Комплексный характер средней крутизны означает наличие фазового сдвига между колебаниями первой гармоники анодного тока и сеточного напряжения. Причина комплексности – нелинейность лампы или, например, работа на высоких частотах, когда период колебаний становится соизмеримым с характерным временем пролета электрона от катода к аноду. В стационарном режиме должны выполняться оба условия (5.71) и (5.72). Подставляя (5.72) в (5.71), получим комплексное уравнение генератора:

(5.73)

Физический смысл уравнения (5.73) состоит в том, что в стационарном режиме комплексный коэффициент передачи по замкнутому контуру генератора равен единице.

Каждую из величин в (5.73) представим в нормализованном виде:

(5.74)

Подставим (5.74) в (5.73):

(5.75)

Соотношения (5.75) – важнейшие в теории автогенераторов, так как определяют параметры стационарного режима. Первое из них выражает условие баланса фаз: сумма фазовых сдвигов по замкнутому контуру цепи генератора в стационарном режиме равна нулю или кратна . Каждое из слагаемых в нем зависит от частоты, а сумма – нет. В большинстве генераторов это условие может выполняться лишь на одной частоте, которая и определяет частоту стационарных колебаний.

Вывод. Частота стационарных колебаний определяется из условия баланса фаз.

Второе из соотношений (5.75) – условие баланса амплитуд, которое показывает, что в стационарном режиме коэффициент передачи по замкнутому контуру цепи генератора равен единице. Это условие выполняется лишь при определенной амплитуде, так как средняя крутизна зависит от амплитуды напряжения.

Вывод. Из условия баланса амплитуд определяется амплитуда стационарных колебаний.

Для графического решения уравнения баланса амплитуд перепишем его в виде:

(5.76)

Пример графического решения (5.76) показан на рис. 5.26.

Рис. 5.26

В п. 5.2 для стационарного режима автогенератора было выведено условие баланса средних мощностей колебаний, выделяемой на участке цепи, содержащей нелинейный элемент, и поглощаемой в колебательной системе автогенератора: . Для первых гармоник тока и напряжения имеем:

(5.77)

Приравнивая ииз (5.77) друг другу, получаем уравнение

(5.78)

соответствующее условию баланса амплитуд (см. второе уравнение в (5.75)).

Вывод. Условие баланса мощностей определяет тот же самый стационарный режим, что и условие баланса амплитуд.

В генераторах, работающих на частотах, не превышающих несколько сотен МГц, применяют колебательные контуры с сосредоточенными параметрами. Для их расчета обычно используют уравнение баланса амплитуд. Для генераторов СВЧ диапазона, в которых применяются элементы с распределенными параметрами, колебания характеризуют мощностью, а не амплитудой. Соответственно, для их расчета применяют уравнение баланса мощностей. Кроме этого, при расчете стационарного режима всегда дополнительно применяют уравнение баланса фаз.

Влияние высших гармоник. В квазилинейном методе при определении колебательной характеристики нелинейного элемента считается, что напряжение на нем – гармоническое. Для достаточно низких частот пренебрегается фазовым сдвигом между колебаниями первой гармоники тока и напряжения на нелинейном элементе, то есть средняя крутизнасчитается вещественной, а не комплексной.

Однако установление стационарных колебаний в генераторе всегда сопровождается уменьшением коэффициента передачи нелинейного элемента при больших амплитудах колебаний из-за нелинейности. Поэтому выходной ток нелинейного элемента представляет собой суперпозицию гармоник:

(5.79)

где - основная по мощности выходного сигнала частота генерации автогенератора.

В системе с высокодобротным линейным колебательным контуром основная частота , где- резонансная частота контура. На резонансной частоте сопротивление контура вещественно, а на более высоких частотах – емкостное. Колебания напряжения на контуре (см. рис. 5.2) и на сетке, при положительной обратной связи (направления намотки катушек согласованы) и, одинаковы по фазе (исинфазны первой гармонике, апротивофазно первой гармонике). Поэтому сеточное напряжение лампы:

(5.80)

где .

Ограничимся аппроксимацией ВАХ лампы полиномом второй степени:

(5.81)

Подставим (5.81) в (5.80). Для колебаний анодного тока первой гармоники получим:

(5.82)

где .

Перепишем (5.82):

(5.83)

где

(5.84)

Второй член в (5.82) возникает из-за дополнительного наличия второй гармоники в сеточном напряжении. Как следствие происходит некоторое изменение амплитуды анодного тока (), а средняя крутизна изменяется по модулю:

(5.85)

и становится комплексной:

(5.86)

где , из-за фазового сдвига колебаний между первой гармоникой анодного тока и сеточного напряжения.

Вывод. При наличии высших гармоник в напряжении на входе нелинейного элемента его средняя крутизна становится комплексной с аргументом , зависящим от уровня высших гармоник.

Для схемы рис. 5.2 в условии баланса фаз: , из (5.75) положим. Получается уравнение

, (5.87)

которое решим графически (см. рис. 5.27) с целью определения сдвига частоты генерируемых колебаний относительно резонансной частоты контураза счет комплексного характера средней крутизны.

Рис. 5.27

Из графического решения видно, что частота генерируемых колебаний меньше резонансной частоты.

Для малых значений сдвига фазы колебаний тока относительно колебаний напряжения на первой гармонике в колебательном контуре с добротностью справедлива оценка:

(5.88)

Подставляя (5.88) в (5.87), получим:

(5.89)

Вывод. Увеличение интенсивности гармоник вызывает понижение частоты генерируемых колебаний.

Вывод. Зависимость модуля и фазы средней крутизны от амплитуд гармоник, которой пренебрегается в квазилинейном методе, приводит к неточности определения амплитуды и частоты колебаний этим методом. Чем больше добротность колебательной системы генератора, тем меньше ошибка.

Стабильность частоты генератора. Пусть- установленная частота генератора, а- возможное случайное отклонение генерируемой частоты от.Стабильностьработы генератора определяется относительным отклонением. Стабильность определяет надежность и бесперебойность работы радиосистем, использующих генераторы. В связных радиостанциях допустимая стабильность, а при приеме слабых сигналов с космических кораблей она меньше (). Частота колебаний определяется из условия баланса фаз. Изменение фазовых сдвигов в отдельных элементах цепи приводит к изменению частоты генерируемых колебаний. Для оценки ухода частоты от резонансной можно использовать выражение (5.89).

Значение зависит от содержания гармоник в спектре напряжения на входе нелинейного элемента. Содержание гармоник изменяется при регулировке генератора, например, - питающих напряжений. В результате изменяется генерируемая частота. Чтобы уменьшить уход частоты за счет этого фактора, следует увеличить добротностьколебательной системы генератора. Чем больше добротность, тем круче ФЧХ контура, тем меньше уход частоты и эффективнее регулировка. На высоких частотах для увеличения добротности применяют кварцевые и полые резонаторы.

Изменение температуры, влажности, давления приводит к изменению собственных параметров колебательного контура и паразитныхпараметров усилительного элемента. Для стабилизации частоты генератора можно поместить его колебательную систему в термостат. Следующий, обычно усилительный каскад, шунтирует своим входным сопротивлением колебательную систему генератора. Регулировка этого каскада также может вызвать уход частоты генератора. По мере увеличения отклонения генерируемой частоты от резонансной стабильность частоты генератора снижается.