5.10. Краткая характеристика методов анализа нелинейных автоколебательных систем
Процессы, происходящие в автоколебательных системах, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В большинстве случаев для анализа их решений применяются приближенные методы.
Наиболее распространенными методами являются:
метод линеаризации;
квазилинейный метод (метод гармонической линеаризации);
метод медленно меняющихся амплитуд;
метод фазовой плоскости;
метод малого параметра;
метод математического моделирования.
Каждый из этих методов обладает рядом разновидностей.
Метод линеаризации состоит в приближенной замене нелинейных зависимостей линейными. Практически это возможно лишь в режиме малых амплитуд колебаний. Метод применяется в основном для исследования условий устойчивости и условий самовозбуждения, как это было продемонстрировано выше. Для изучения поведения систем при большой амплитуде колебаний этот метод непригоден ни в режиме переходных процессов, ни в режиме установившихся колебаний.
Квазилинейный метод получил наибольшее распространение для расчета стационарных режимов автогенераторов. В принципе он пригоден и для анализа переходных процессов. Метод основан на изучении соотношений между первыми гармониками токов и напряжений и замене нелинейного элемента эквивалентным линейным. Последний характеризуется средним параметром – параметром первой гармоники. После такой замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями. Их можно решать методами линейной теории, например, - методом комплексных амплитуд. Нелинейность схемы проявляется в зависимости среднего параметра от амплитуды. Данный метод применим для систем, колебания в которых близки к гармоническим. В большинстве случаев квазигармоничность колебаний обусловлена применением высокодобротных колебательных контуров. Для них характерно сравнительно медленное, по сравнению с периодом колебаний, изменение амплитуды и начальной фазы колебаний.
Метод медленно изменяющихся амплитуд (метод укороченных уравнений), как и квазилинейный метод, применим для систем, колебания в которых близки к гармоническим. Отмеченное условие медленности позволяет упростить и понизить порядок нелинейного дифференциального уравнения системы. Этот метод является основным при анализе переходных процессов в автогенераторах.
Метод фазовой плоскости – графический метод, применяемый для анализа стационарных и переходных процессов. Он основан на изучении интегральных кривых дифференциальных уравнений второго порядка. Метод пригоден для исследования не только квазигармонических, но и негармонических (релаксационных) колебаний, то есть - более общий, чем квазилинейный метод или метод укороченных уравнений. Недостатки метода фазовой плоскости связаны со сложными графическими построениями и отсутствием аналитических решений.
Метод малого параметрапредполагает представление решения нелинейного дифференциального уравнения в виде разложения в ряд по степеням малого параметра. Метод пригоден для теоретического исследования стационарных автоколебаний.
Математическое моделированиеосновано на приведении нелинейных дифференциальных уравнений к виду, удобному для решения на цифровых или аналоговых ЭВМ. Широко применяются, например, методыконечных разностей, конечных элементов, вариационные методы и т.д. По мере повышения порядка уравнений и усиления их сложности эти методы часто становятся единственно возможными при практической реализации.