3.2. Специальные методы спектрального анализа

В п. 3.1 был изложен классический метод решения задачи спектрального анализа нелинейной цепи применительно к случаю гармонического воздействия с постоянным смещением на резистивный нелинейный элемент. Полученные результаты можно обобщить на случай, когда во входном воздействии есть не одна, а несколько гармонических составляющих. Тогда применяются кратные ряды Фурье. Если воздействие непериодическое, то вместо рядов Фурье надо использовать интегральную форму разложения Фурье.

Кроме громоздкого классического метода, широко применяются более простые специальные спектральные методы. Ряд методов основан на аппроксимации ВАХ изучаемого элемента. Аппроксимация упрощает спектральный анализ, но ухудшает точность получаемых результатов.

Кусочно-линейная аппроксимация. На ее применении основан метод угла отсечки. Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент с характеристикой

(3.5)

на который подано напряжение

, (3.6)

показана на рис. 3.2.

Рис. 3.2

График тока имеет характерный вид периодической последовательности косинусоидальных импульсов с отсечкой. Искомая последовательность выражается аналитически при подстановке (3.6) в (3.5) как:

(3.7)

где , , , - параметр, называемый углом отсечки и определяемый из условия: как при ( равно половине части периода колебаний, когда протекает ток).

Спектр тока выражается формулой (3.3), где амплитуды компонент спектра находятся при подстановке (3.7) в выражения для этих коэффициентов, данные после (3.3):

(3.8)

где , - функция Берга ого порядка,

Для получения максимально возможного значения амплитуды с номером надо соответствующим образом выбирать .

Пример. Нелинейный элемент имеет кусочно-линейную ВАХ с параметрами В, мА/В. К данному элементу приложено напряжение , В. Вычислить постоянную составляющую и амплитуду первой гармоники тока .

Так как , то . Значения функций Берга:

По формулам (3.8) имеем мА, мА.

Степенная аппроксимация. На ее применении основан метод с использованием тригонометрических формул кратного аргумента. Пусть в окрестности рабочей точки вольт-амперная характеристика нелинейного элемента представлена в виде:

(3.9)

Приложенное к двухполюснику напряжение дается выражением (3.6). Используя известные формулы:

путем подстановки (3.6) в (3.9) получим выражение для спектра тока:

(3.10)

Из (3.10) следует общее выражение для амплитуды тока гармоники с номером :

(3.11)

Вывод: постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами степенного ряда с четными номерами. Амплитуды нечетных гармоник зависят лишь от нечетных коэффициентов.

Пример. Рассмотрим нелинейные искажения в транзисторном усилителе с резистивной нагрузкой , показанном на рис. 3.3.

Полагаем, что амплитуда входного гармонического сигнала достаточно велика, чтобы вызвать необходимость учета нелинейности проходной характеристики транзистора . Аппроксимируем характеристику в окрестности рабочей точки полиномом второй степени:

На вход усилителя подается напряжение

В коллекторной цепи получим спектр тока, содержащий постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники с амплитудами (см. (3.11)):

Рис. 3.3

Эти гармоники тока, проходя через резистор нагрузки , создают на нем падение напряжения, которое является выходным сигналом. Уровень нелинейных искажений на выходе усилителя оценим, найдя коэффициент нелинейных искажений (3.4). В данном случае

Заметим, что коэффициент нелинейных искажений увеличивается с ростом амплитуды входного сигнала .

Показательная аппроксимация. Здесь применяется метод, основанный на использовании функций Бесселя мнимого аргумента. Если ВАХ двухполюсника аппроксимирована выражением

(3.12)

для вычисления спектра тока используют формулу

где - модифицированная функция Бесселя ого порядка.

Пусть на двухполюсник действует напряжение (3.6). Спектр тока выражается формулой (3.3), где амплитуды компонент спектра находятся при подстановке (3.12) в выражения для этих коэффициентов, данные после (3.3). В результате получим спектр тока:

(3.13)

Аппроксимация точного решения спектральной задачи в виде разложения (3.3) конечным числом первых членов этого разложения:

(3.14)

где .

На основе аппроксимации (3.14) разработан приближенный графо-аналитический метод спектрального анализа колебаний. Он широко применяется для оценки нелинейных искажений в усилителях, модуляторах и т.д. В отличие от уже изученных методов он не требует знания аппроксимации ВАХ нелинейного элемента. Пусть на элемент подается напряжение

Метод пяти ординат позволяет оценить постоянную составляющую тока и амплитуды первых четырех его гармоник. Тогда в (3.14) полагают . Для пяти моментов времени, когда , соответственно, находят значения входного напряжения. Графически находят пять ординат ВАХ, которые соответствуют этим пяти точкам входного напряжения: (см. рис. 3.4). При этом расстояния между точками на оси абсцисс (оси напряжения ) оказываются одинаковыми.

Рис. 3.4 при , (), (), (), (),

Искомые постоянная составляющая и амплитуды первых четырех гармоник спектра тока: , , находят из условия, что ординаты пяти точек, найденные на ВАХ, удовлетворяют в соответствующие моменты времени уравнению (3.14). Получим систему линейных уравнений:

(3.15)

Решая систему (3.15), найдем искомые величины:

(3.16)

Метод трех ординат - менее точный, но более простой в реализации, чем изученный метод пяти ординат. Для него в (3.14) . Заданы три момента времени, для которых . Для них ищут графически три точки на ВАХ элемента. Расчетные формулы имеют вид:

(3.17)

Аппроксимация с помощью ряда Тейлора. В некоторых случаях функциональная зависимость ВАХ может быть сложной. Разложение этой зависимости в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки и ограничение числа членов разложения позволяет приближенно перейти к более простой степенной аппроксимации. Применение последней для решения спектральной задачи уже было изучено.

Пример. При сложении двух синусоидальных колебаний близких частот ( и , где ) образуются биения. Их можно описать как АМ колебания с частотой заполнения и огибающей

(3.18)

где - параметр, называемый глубиной модуляции.

Найдем спектр огибающей. Представим функцию (3.18) как , где . Разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности единицы:

(3.19)

Используя тригонометрические формулы

найдем спектр огибающей (3.18):

(3.20)

Видно, что колебания огибающей не являются гармоническими. Однако, если амплитуды складываемых колебаний сильно различаются, то . Тогда в линейном приближении имеем:

(3.21)

и колебания огибающей приближенно оказываются гармоническими.