TETs_Sobolev

∑

EG — алгебраическая сумма попарных произведений ЭДС ветвей,

ℓ

примыкающих к узлу ℓ, и их проводимостей; (со знаком плюс указ-

ываются те ЭДС, которые направлены к узлу ℓ, со знаком минус —

∑

те ЭДС, которые направлены от узла ℓ); ℓ J — алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях, присоединённых к узлу ℓ (токи, направленные к узлу указываются со знаком плюс, а направленные от узла со знаком минус).

3. Решая полученную систему уравнений, находят значения потенциалов.

предположении, что заданы следующие значения параметров элементов схемы: R1 = 10 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 4 Ом; R4 = 20 Ом; R5 = 25 Ом; R6 = 2 Ом; J = 2 А; E = 5 В, найдём значения потенциалов узлов и токов в ветвях при помощи системы Mathcad:

Итак, потенциалы узлов равны: V0 = 0; V1 = 8;73 B; V1 = 3;09 B; V1 = 3;98 B. Действительные токи в ветвях равны: IR1 = 0;873 A; IR2 = 1;13 A; IR3 = 0;773 A; IR4 = 0;354 A; IR5 = 0;159 A; IR6 =

=0;510 A. Их направления указаны на проводах схемы .

1.2.2.7.Метод наложения (метод суперпозиции) основан на сложении эффектов от отдельных воздействий. Он применим только к линейным системам. Принцип суперпозиции формулируется так:

Отклик линейной системы на совокупность воздействий равен сумме откликов на каждое отдельно взятое воздействие.

Этот принцип справедлив для систем разных типов (механических, акустических, электрических).

Применительно к электрическим цепям под воздействиями понимают напряжения и токи источников (или их частотные составляющие). В простейшем случае при определении токов ветвей поочерёдно оставляют в схеме по одному источнику, считая напряжения и токи остальных источников равными нулю, но оставляя их внутренние сопротивления. В каждой получающейся таким образом частной схеме рассчитывают токи ветвей. Токи в ветвях заданной (полной) схемы, определяют как алгебраические суммы токов в соответствующих ветвях частных схем.

Рассмотрим последовательность расчёта токов в ветвях цепи, представленной на рис. 1.27,a.

Оставляя только источник E1, получаем первую частную схему, представленную на рис. 1.27,b. Рассчитываем токи в её ветвях :

Обратите внимание на действительное и предполагаемое направления тока через R5.

Здесь и далее количество штрихов после переменной I обозначает номер частной схемы, а не порядок производной.

Рис. 1.27. Заданная цепь и частные схемы

Оставляя только источник E2, получаем вторую частную схему, представленную на рис. 1.27,v. Рассчитываем токи в её ветвях:

Оставляя только источник J, получаем третью частную схему, представленную на рис. 1.27,g. Рассчитываем токи в её ветвях:

Определяем предполагаемые токи в ветвях заданной схемы:

1.2.2.8. Для проверки правильности расчёта токов в цепи любым методом проверяют баланс мощностей. По закону сохранения энергии мощность, отдаваемая всеми независимыми источниками в

В рассмотренном примере расхождения нет. Следовательно, расчёт токов в цепи выполнен верно. Ручной расчёт токов производят

Отрицательный член суммы означает, что соответствующий источник фактически работает в данной схеме как потребитель энергии, заряжаясь от других источников.

34 Г л а в а 1

обычно с сохранением трёх значащих цифр, что обеспечивает относительную погрешность, не превышающую 0,03. Поэтому при проверке баланса мощностей допускают относительное расхождение 6 3 %. При большем расхождении следует искать ошибку или в расчёте токов, или в проверке баланса.

Для цепи, исследованной в п. 1.2.2.6 (см. рис. 1.26), имеем:

Pист = JIR1 R1 + I6E = 2 0;873 10 + 0;510 5 = 20;01 Вт;

Pнагр = I12R1 + I22R2 + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6 = 0;8732 10 +

+ 1;132 5 + 0;7732 4 + 0;3542 20 + 0;1592 25 + 0;5102 2 = 20;05 Вт:

Расхождение меньше максимального допустимого значения в 3 %, следовательно, расчёт токов в цепи выполнен верно.

1.2.2.9. Исходя из (1.13) можно прийти к выводу, что

∑Q

q=1

где Q — количество пассивных и независимых активных элементов схемы. Равенство (1.14) остаётся в силе, если под Q понимать количество ветвей. Утверждение, что

сумма попарных произведений напряжений и токов всех ветвей электрической цепи равна нулю,

известно под названием теоремы Телледжена .

1.2.2.10. Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника) применяется в том случае, когда требуется рассчитать значение тока только в одной ветви, рассматривающейся обычно в качестве нагрузки к остальной части схемы. Последовательность действий при расчёте такова. От схемы мысленно отключают упомянутую ветвь. Оставшуюся часть схемы заменяют эквивалентным источником с ЭДС, равной напряжению между узлами, к которым была подключена удалённая ветвь, и внутренним сопротивлением, равным сопротивлению между этими узлами. К полученному источнику подключают удалённую ранее ветвь и в образованной одноконтурной цепи рассчитывают ток по закону Ома. Его значение равно значению искомого тока.

Можно показать, что эта теорема непосредственно следует из законов Кирхгофа.

Рис. 1.29. Пояснение к расчёту тока в ветви методом эквивалентного генератора

Рассмотрим последовательность действий при расчёте тока, текущего через сопротивление Rн, в цепи, приведённой на рис. 1.29,a. Отключив сопротивление нагрузки, получаем цепь, изображённую на рис. 1.29,b. Рассчитываем ЭДС эквивалентного источника:

Рассчитываем внутреннее сопротивление эквивалентного источника

Соединив эквивалентный источник с нагрузочным сопротивлением, получаем одноконтурную цепь, изображённую на рис. 1.29,v. Рассчитываем ток I3, текущий через Rн в цепях, приведённых на рис. 1.29,v и a:

Eэкв

I3 = Iн = Rэкв + Rн :

1.2.3. Вопросы для самопроверки

1.Какие методы расчёта токов в ветвях электрических цепей Вам известны?

2.Сколько уравнений следует записывать при расчёте токов по законам Кирхгофа?

3.Как определяется необходимое количество уравнений по первому закону Кирхгофа и как по второму для полного описания процессов в электрической цепи?

4.Через какие элементы схемы нельзя проводить контуры для составления уравнений по второму закону Кирхгофа?

5.В чём состоит отличие действительных токов в ветвях от предполагаемых токов?

6.Как определить направления действительных токов, зная значения предполагаемых?

7.Что такое контурные токи?

8.Сколько уравнений следует составлять при расчёте методом контурных токов?

9.Как выбирают основные и дополнительные контуры при применении метода контурных токов?

10.Как перейти от значений контурных токов к значениям токов

вветвях схемы?

11.Сколько уравнений следует составлять при расчёте токов методом узловых потенциалов?

12.Что записывают в левой и правой частях уравнений, составляемых при расчёте токов методом узловых потенциалов, и как расставляют знаки отдельных компонентов этих уравнений?

13.Как определить токи в ветвях, зная потенциалы узлов?

14.В чём состоит сущность метода наложения?

15.К каким цепям примен´им принцип суперпозиции и к каким не применим?

16.Что такое частная схема и сколько таких схем нужно составить, чтобы рассчитать значения токов в ветвях методом наложения?

17.Какие параметры элементов электрической цепи исключают при составлении частных схем и какие оставляют?

18.Как определить значения токов в ветвях заданной цепи, зная значения токов в ветвях частных схем?

19.Как формулируется закон сохранения энергии применительно к электрическим цепям?

20.Как рассчитать мощность, отдаваемую источниками в цепь, и мощность, потребляемую нагрузкой?

21.Какова инженерная норма для максимального допустимого относительного расхождения значений мощности источников и мощности нагрузки?

22.Как формулируется теорема Телледжена?

23.В каких случаях целесообразно использовать метод эквивалентного генератора?

24.В чём заключается сущность метода эквивалентного генера-

тора?

25.Как определить значения ЭДС и внутреннего сопротивления эквивалентного генератора?

1.2.4. Задание для самостоятельных расчётов

1.2.4.1. Используя законы Кирхгофа, рассчитать токи в ветвях электрической цепи, представленной на рис. 1.30, приняв следующие значения параметров: J = 5 A; E1 = 60 B; E2 = 50 В; R1 = 15 Ом;

R2 = 35 Ом; R3 = 40 Ом; R4 = 20 Ом; R5 = 3 Ом; R6 = 7 Ом. Проверить правильность расчёта посредством баланса мощностей.

1.2.4.2.Методом контурных токов рассчитать токи в ветвях электрической цепи, представленной на рис. 1.31, приняв J = 1 A; E1 =

=15 В; E2 = 7 В; R1 = 20 Ом; R2 = 55 Ом; R3 = 30 Ом; R4 = 40 Ом. Проверить правильность расчёта посредством баланса мощностей.

1.2.4.3.Методом узловых потенциалов рассчитать токи в ветвях электрической цепи, представленной на рис. 1.30, приняв значения параметров, указанные в п. 1.2.4.1. Сравнить рассчитанные значения токов со значениями, полученными при выполнении п. 1.2.4.1.

1.2.4.4.Методом наложения рассчитать токи в ветвях электрической цепи, представленной на рис. 1.31, приняв значения параметров, указанные в п. 1.2.4.2. Сравнить рассчитанные значения токов со значениями, полученными при выполнении п. 1.2.4.2.

1.3. Расчёт RLC-цепей в режиме гармонических колебаний

1.3.1. Цели изучения

1.Ознакомление с понятиями комплексных сопротивлений, напряжений и токов, а также с принципом составления векторных диаграмм.

2.Изучение принципов расчёта токов в ветвях RLC-цепей методом комплексных амплитуд.

3.Ознакомление с принципами составления баланса мощностей

вRLC-цепях.

1.3.2.Основные теоретические положения

1.3.2.1. В резистивных элементах мгновенный ток и мгновенное напряжение связаны законом Ома u(t) = Ri(t), поэтому временн´ая функция тока повторяет временн´ую функцию напряжения (см. графики на рис. 1.32,a). Отличие заключается лишь в масштабном множителе и единицах измерения.

Рис. 1.32. Временные´ зависимости напряжений и токов сложной формы

впассивных элементах электрических цепей

Вэнергоёмких элементах (C и L) пропорциональность между i(t)

иu(t) нарушается. Вследствие действия электрического поля в ёмкости и магнитного поля в индуктивности графики функций i(t) и u(t) не совпадают по форме (см., например, рис. 1.32,b и v). Связь тока и напряжения выражается так:

В частном случае гармонических сигналов имеем:

1

iR(t) = RUm sin !t = Im sin !t;

d

iC = C dt(UmC sin !t) = CUmC! cos !t = = CUmC! sin(!t + 90◦) = ImC sin(!t + 90◦);

d

uL = Ldt(ImL sin !t) = LImL! cos !t = = LImL! sin(!t + 90◦) = UmL sin(!t + 90◦):