§ 3. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Элементарная работа силы на перемещении:.

Мощность постоянной силы :, где- скорость.

Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле: .

Приращение кинетической энергии частицы: , гдеА– работа результирующей всех сил, действующих на частицу.

Приращение полной механической энергии частицы в потенциальном поле: , гдеА _стор.– алгебраическая сумма работ всех сторонних сил.

В замкнутой системе полный импульс не изменяется (закон сохранения импульса):

Момент силы относительно некоторой точки 0:, где- радиус-вектор, проведенный из точки 0 в точку приложения силы.

Момент импульса частицы относительно некоторой точки 0:, где- радиус-вектор, проведенный из точки 0 в точку, где находится частица, импульс частицы -.

Закон изменения момента импульса системы:, где- суммарный момент всех внешних сил.

Закон сохранения момента импульса: , т.е. момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным.

§ 4. Механика твердого тела.

Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:, где M_z– алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно осиz.

Момент инерции некоторых тел:
точки массой mна расстоянииRот оси вращения
однородного стержня длинной lотносительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно стержню,m – масса стержня.
однородного стержня, ось вращения которого перпендикулярна стержню и проходит через его конец
однородного диска или цилиндра радиусом Rи массойmотносительно оси, совпадающей с осью диска или цилиндра
тонкостенной трубы или кольца относительно оси совпадающей с осью трубы или кольца
полого цилиндра массой m относительно оси симметрии.R1 и R2 - внутренний и внешний радиусы.
однородного шара массой mи радиусом Rотносительно оси, совпадающей с его диаметром
тонкого диска радиусом Rи массойmотносительно оси, совпадающей с диаметром

Момент инерции тела Iотносительно произвольной оси определяется по теореме Штейнера:, гдеI₀ – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс,а– расстояние между осями.

Работа внешних сил при повороте твердого тела вокруг неподвижной оси: .

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси .

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении: , гдеm – масса тела,- скорость центра масс,I– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения вокруг той же оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси z:, гдеI_z– момент инерции тела относительно осиz, – угловая скорость.

Условия равновесия твердого тела.

Результирующая всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равной нулю, т.е.

Суммарный момент внешних сил относительно любой точки должен быть равен нулю, т.е. .

§ 5. Механика жидкостей и газов.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости справедливо уравнение неразрывности струи: , где- скорость жидкости,- площадь поперечного сечения трубки тока.

Объем жидкости, протекающей за единицу времени через сечение с нормалью.

Скорость истечения идеальной жидкости через малое отверстие в широком сосуде: , где- глубина отверстия относительно уровня жидкости в широком сосуде.

Уравнение Бернулли: , где- плотность жидкости,- статическое давление жидкости,- скорость течения жидкости,- высота сечения трубки тока над некоторым уровнем.

При переходе объема жидкости из пространства, где давлением, в пространство с давлением, внешним давлением совершается работа:.

При ламинарном течении жидкости, помещенное в поток тело испытывает лобовое сопротивление: , где- коэффициент, зависит от формы и размера тела,- вязкость,- скорость потока.

При движении шара в вязкой среде сила сопротивления (формула Стокса):, где- радиус шара.

Объем жидкости, протекающей через трубку длинойи радиусомпри ламинарном движении за время, определяется по формуле Пуазейля:, где- разность давлений на концах трубки.

В случае турбулентного потока при не очень больших скоростях лобовое сопротивление:, где- коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы тела и числа Рейнольдса,- площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к скорости потока,- плотность среды.

Число Рейнольдса: , где- величина, характеризующая линейные размеры обтекаемого тела.