Основы_акустики_Гринченко_Вовк

задачах: “Описание какого-либо воздействия, т.е. какой-то конечной функции ϕ(х), с помощью дельта-функции возможно и целесообразно именно тогда, когда детальная форма воздействия, т.е. истинная за- висимость его от х, несущественна, а важен лишь интеграл” [*, с. 442].

Запишем соотношения, определяющие основные свойства дельта-

функции [52, 60]:

1. Определение дельта-функции:

4. Обозначим символом θ(х) функцию Хевисайда**(рис. 9.2):

Тогда справедливы соотношения

*Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих фи- зиков и техников. — М.: Наука, 1982. — 512 с.

**Хевисайд (Heaviside) Оливер (1850—1925) — английский физик и ин- женер.

541

т.е. с уравнением с правой нулевой частью. Это означает, что внеш- ние силы в среде отсутствуют, и ни в одной точке пространства нет источника, из которого бы жидкость поступала в среду.

Пусть теперь в среде есть источник, его модель обсудим несколько позднее. Выведем волновое уравнение при наличии источника в сре-

де. Для этого вернемся к уравнению неразрывности (п. 4.1.3). Оче-

видно, что в правой части формулы (4.9) для приращения массы в элементарной ячейке среды (рис. 4.1) следует прибавить массу жид- кости ρист , кг м–3 с–1, которая поступает от источника за единицу

времени в единицу объема:

Приравнивая (4.8) и (9.19) и проводя линеаризацию, получаем урав- нение неразрывности в таком виде:

Дифференцируя (9.20) по времени t и используя уравнение состояния (4.16) и уравнение движения (4.7), получаем неоднородное волновое уравнение для давления:

Для гармонического источника q(r,t) = q(r)exp(–iωt) будем иметь соот- ветствующее неоднородное уравнение Гельмгольца:

В дальнейшем будут рассматриваться гармонические процессы, по- этому множители exp(–iωt) не будем писать.

Теперь сделаем важное замечание. Оказывается неоднородное волновое уравнение можно получить не только в случае, когда источ- ником звука являются вытекание-втекание вещества, но и когда звук

543

излучается некоторой колеблющейся поверхностью. Пусть имеем од- нородное уравнение

с неоднородными граничными условиями, т.е. возникла ситуация, ко-

гда на некоторой поверхности S задано давление или колебательная скорость:

причем в качестве р2 выберем функцию, которая удовлетворяет пер- вому или второму условию (9.25) на поверхности S, но не удовлетво-

Если правую часть (9.27) обозначить q, то получим неоднородное уравнение Гельмгольца относительно функции р1, которая удовлетво-

ряет однородному граничному условию p1 S = 0 .

Физический смысл такого преобразования состоит в том, что ре- зультат излучения звука поверхностью всегда можно представить в виде звукового поля, которое образовано источниками, размещенны- ми в пространстве при наличии абсолютно жестких или абсолютно мягких границ.

9.4. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Свободное пространство

Определимся с моделью источника. Будем считать, что размеры источника настолько малы, что источник практически скон- центрирован в точке. Поскольку производительность такого источни- ка конечна, а объем, который занимает источник, практически равен нулю, то для описания такого источника как раз и нужно использо-

544

вать дельта-функцию, т.е. q(r) = Qδ(r – r0). Здесь вектор r0 = (x0,y0 ,z0 ) определяет координаты источника, вектор r = (x,y,z ) — координаты

произвольной точки звукового поля, Q — производительность источ- ника. Функция, которая описывает звуковое поле, образованное то- чечным источником, называется функция Грина*. Если речь идет о свободном пространстве, то имеется в виду функция Грина для сво-

бодного пространства.

Итак, пусть Q = 1. Тогда поиск функции Грина заключается в ре-

Правая часть уравнения (9.28) равна нулю во всех точках простран- ства за исключением точки r = r0, в которой находится источник.

Будем искать решение уравнения (9.28) в виде трехмерного инте- грала Фурье [25]

где γ = (γx ,γy ,γz ) — волновой вектор. Этот интеграл представляет со-

бой суперпозицию плоских волн exp(iγr) , которые распространяются

под произвольными углами относительно осей координат. Подставляя интегральное представление (9.28а) в уравнение (9.28)

и, учитывая, что (см. (9.9))

δ (r - r0 ) = ( 1)3 ∫exp(iγ (r - r0 ))dγ , 2π

получаем, после перехода к равенству подынтегральных выражений, такое соотношение

где γ2 = γ 2 = γ2x + γy2 + γ2z . Подставляя это соотношение в формулу (9.28а), приходим к формальному решению в виде такого интеграла

* Грин (Green) Джордж (1793—1841) — английский математик и физик.

545

Вычислим этот интеграл, для чего перейдем к сферическим коор- динатам γ = γ ,θ,ψ , которые связанные с координатами γx ,γy ,γz со-

это даст возможность представить скалярное произведение векторов так: γ (r - r0 ) = γ r - r0 cos θ, (в данном случае, угол между векторами

можно определить через угол θ, ведь диапазон изменения этих углов одинаковый). В таком случае

Полученный интеграл вычислим методом контурного интегриро- вания, замыкая контур дугой бесконечного полукруга в верхней по- луплоскости комплексной переменной γ . При этом интеграл по полу-

кругу, согласно лемме Жордана [8], равняется нулю и интеграл сво- дится к сумме вычетов подынтегральной функции

тельной оси, допустим, что в среде присутствует малое поглощение,

Жордан Мари Эдмон Камиль (1838-1922) – французский математик.

546

Итак, решение уравнения (9.28) для свободного трехмерного про- странства получено, а значит и определена функция Грина. Для функции Грина используют обозначение G(r,r0), тогда

Функция (9.29) удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца (9.28) для всех точек r ≠ r0; в этом нетрудно убедиться, подставив (9.29) в уравнение (9.28). Можно показать [60, с. 68—69], что и при r = r0 функция G(r,r0) удовлетворяет уравнению (9.28). Отсюда следу- ет, что функция Грина удовлетворяет однородному уравнению Гельм- гольца во всех точках, кроме точки r = r0, в которой расположен ис- точник.

Как видим, функция Грина для свободного пространства (9.29) представляет собой поле точечного источника (см. параграф 7.5), расположенного в точке r0, давление определяется в точке r. Она от- личается от формулы (7.31) только множителем (–iωρV0).

Согласно (9.29) функция Грина для свободного пространства при r → r0 имеет особенность типа

что также характерно для любой функции Грина уравнения Гельм- гольца. Очевидно, этот факт не является неожиданным, ведь в каче- стве модели источника имеем точечный источник, который обуслов- ливает использование дельта-функции. Кроме того, поскольку эта особенность не зависит от волнового числа k, то она существует и при k = 0, т.е. для функции Грина уравнения Лапласа [52].

Аналогично можно получить двумерную функцию Грина для сво- бодного пространства, которая удовлетворяет уравнению

∂2 p + ∂2 p +k2 p = −δ(x − x0 )δ(y − y0 ). ∂x2 ∂y2

Предлагаем читателю сделать это самостоятельно, используя соотно- шения

2J0 (γ r - r0 ) = H0(1) (γ r - r0 )− H0(1) (−γ r - r0 ),

где J0 (γ r - r0 ) — функция Бесселя нулевого порядка. В результате

для свободного пространства в двумерном случае функция Грина оп- ределяется выражением

547

где H0(1)(kr ) — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Вы-

ражение (9.31) характеризует цилиндрическую волну, которая излу- чается бесконечно длинной линией и отличается от поля пульсирую- щего цилиндра (7.133) только множителем. При больших волновых расстояниях kr от источника поле, которое определяется выражением (9.31), ведет себя как расходящаяся волна, амплитуда которой

уменьшается по закону 1 r . Действительно, используя асимптотиче-

ское представление функции Ханкеля первого рода при kr 1, имеем такой вид для бегущей волны

скольку функция Ханкеля первого рода нулевого порядка имеет такое асимптотическое представление H0(1) (kr ) ≈ 2πi ln(kr ).

Для свободного пространства в одномерном случае функция Грина удовлетворяет уравнению

∂2 p +k2 p = −δ(x − x0 ). ∂x2

Самостоятельно определите, что в одномерном случае функцию Грина можно записать так:

т.е. она представляет собой бегущую плоскую волну.

Отметим еще одно свойство функции Грина. Она является сим- метричной функцией своих аргументов, т.е. G(r,r0) = G(r0,r). Это свой- ство выражает собой так называемый принцип взаимности. Для функции Грина свободного пространства (9.29) это очевидно, но та- кое свойство присуще любой функции Грина (т.е. для функции Грина неоднородной среды или среды, в которой размещены упругие тела, (см. параграф 9.13)). Физически равенство G(r,r0) = G(r0,r) означает, что поле, создаваемое в точке r точечным источником, расположен- ным в точке r0, в точности равняется полю, которое создается в точке r0 точечным источником, расположенным в точке r.

548

9.5. Принцип Гюйгенса. Условие излучения Зоммерфельда

В XVII столетии Гюйгенс* сформулировал принцип, соглас- но которому каждая точка фронта расходящейся волны является ис- точником сферических волн, которые формируют результирующее волновое поле. Строгая формулировка принципа Гюйгенса сущест- венно отличается от первоначальной формулировки. Она дана Гельм- гольцем для гармонических процессов и развита впоследствии Кирх- гоффом для процессов с произвольной временной зависимостью.

Вывод принципа Гюйгенса базируется на известной формуле Гри-

на [8, 52]:

Здесь n — вектор внешней единичной нормали к поверхности S, ок- ружающей объем V (рис. 9.3); p и G — произвольные достаточно глад- кие функции; — оператор Лапласа. Соотношение (9.33) определяет связь, представленную в интегральной форме, между значениями функций p и G внутри некоторого объема V и их значениями на по- верхности S, окружающей объем V.

Рис. 9.3. Пример определения принципа Гюйгенса для внутренней области

Пусть функция p(r) является полем давления в произвольной точке r объема V и удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

где функция q(r0) определяет координаты r0 и производительность акустически прозрачных объемных источников, расположенных в объеме V (рис. 9.3). Звуковое поле G(r,r0) удовлетворяет уравнению (9.28), т.е. представляет собой функцию Грина для свободного про- странства (9.29). Если выразить величины p и G с помощью урав-

* Гюйгенс (Huygens) Христиан (1629—1695) — голландский механик, физик, математик и астроном.

549

нений (9.34), (9.28) и подставить эти выражения в (9.33) (сделайте самостоятельно), то получим соотношение, которое определяет мате-

матическую формулировку принципа Гюйгенса для поля внутри об- ласти V:

Здесь выражение r V означает то, что точка r находится внутри объема V, а индекс S для вектора r0(S ) подчеркивает тот факт, что

речь идет о точке на поверхности S.

Соотношение (9.35) показывает, что поле в области V определяется источниками звука, которые находятся внутри этой области и описы-

ваются функцией q(r0), а также значениями давления p (r0(S ) ) и его

нормальной производной ∂p (r0(S ) )∂n (фактически колебательной

скорости) на поверхности S, ограничивающей объем V (рис. 9.3). Значение p и υn на поверхности S зависят как от функции q(r0), так и от поля внешних источников, которые находятся вне объема V.

Рис. 9.4. Пример определения принципа Гюйгенса для внешней области

Рассмотрим теперь случай, когда необходимо определить поле вне области V. Окружим область V бесконечно удаленной сферой с по- верхностью Σ и выполним разрез L, который будет соединять поверх- ности S и Σ (рис. 9.4). Тогда к области, ограниченной поверхностями S, Σ и разрезом L (обозначим ее V′, внешние относительно области V источника звука находятся в области V′), можно применить соотно- шение (9.35). Интеграл по разрезу L равен нулю вследствие противо-

550