Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Второе важное соотношение, которое позволяет определить интенсив- ность Ir сферической волны через амплитуду давления |p|, получим в результате такого ряда преобразований:

Итак, интенсивность сферической волны выражается через акустиче- ское давление так же, как и для плоской волны (см. (5.14)). Поскольку с расстоянием r от источника давление изменяется как p 1/r, то ин- тенсивность — как Ir 1/r2.

7.5. Монополь

Сведения о сферических волнах играют важную роль при исследовании процессов излучения и приема звука, а также в зада- чах рассеяния звука. Кроме того, благодаря принципу суперпозиции звуковые поля со сложной структурой можно представить как сумму плоских или сферических волн. Поэтому в теоретических исследова- ниях важно иметь источник сферической волны, который можно считать звукопроницаемым и таким, что не искажает звуковые поля других источников. Этот источник называют точечным источником

или монополем.

К понятию точечного источника можно прийти, рассматривая пуль- сирующую сферу радиуса а. Согласно (7.8) и (7.10) создаваемое дав- ление представим в виде

Рассмотрим частный случай, когда радиус сферы намного меньше длины волны (а << λ), при этом ka → 0. Пренебрежем (ka) в знамена- теле и в показателе экспоненты (7.30). Принимая во внимание, что 4πa2 = S — площадь сферы, получаем p(r,t) = −iωρ υ40πSr exp(−iωt + ikr ). Величину, которая равна произведению скорости поверхности излу- чателя на его площадь V = υS, называют объемной скоростью источ- ника, тогда υ0S = V0 — амплитудное значение объемной скорости, или

производительность.

Нетрудно понять физическое содержание понятия “производи- тельность источника”. Оно представляет собой изменение объема сре- ды за единицу времени (измеряется в кубических метрах за секунду, м3/с). Если окружить источник некоторой мысленной поверхностью

431

малого радиуса (r0 << λ) и считать, что жидкость на небольших рас- стояниях от излучателя движется как единое целое, практически не сжимаясь, то можно увидеть, что производительность равняется объ- ему жидкости, которую выталкивает источник за одну секунду за границы сферической поверхности. Помножив производительность на плотность, получим массу жидкости, которая вытекает или втека- ет в объем, ограниченный мысленной сферой, за единицу времени. Это толкование позволяет считать монополь источником массы отно- сительно окружающей его жидкости.

Итак, давление точечного источника определяется по формуле

Важным является то, что точечный источник — это не только сфера малых волновых размеров, но и любое другое пульсирующее тело, если его размеры намного меньше, чем λ. Понятие пульсирую- щего источника предполагает, что амплитуда и фаза скорости коле- баний одинаковы для всех точек его поверхности. Рассмотрим тече- ние жидкости в непосредственной близости к поверхности пульси- рующей сферы и любого другого пульсирующего источника малых волновых размеров. Оказывается, что каждый из двух источников всегда можно окружить сферической поверхностью малых волновых размеров и именно такой, что течения снаружи этой сферы для двух источников практически совпадают. Для среды вне этой сфериче- ской поверхности каждый из двух излучателей действует как источ- ник массы. Итак, точечным источником можно назвать любой пульси- рующий излучатель, размеры которого намного меньше длины волны.

Акустическая мощность точечного источника согласно (7.26) с учетом неравенства ka << 1 имеет вид

Из (7.32) следует, что акустическая мощность любого (независимо от формы) пульсирующего источника малых волновых размеров определяется амплитудой объемной скорости, т.е. производитель- ностью источника.

Сравним мощность излучения монополя с мощностью излучения плоской волны диском той же площади S = 4πa2, который колеблется с той же скоростью υ, что и поверхность пульсирующего шарика. Для того чтобы диск излучал плоскую волну, его нужно разместить в цилиндрической трубе сечения S. Мощность излучения диска равна

Pдиск = (υ20 /2)ρcS , т.е. согласно (7.32) в 1/(ka)2 раза больше мощности

432

излучения монополя. Таким образом, эффективность излучения зву- ка в виде сферической волны пульсирующим телом, малым по срав- нению с длиной волны, является низкой по сравнению с излучением плоской волны излучателем с той же площадью излучающей поверх- ности.

При наличии нескольких точечных источников в звуковом поле их взаимодействием со звуковыми волнами, т.е. явлением рассеяния звука на точечном источнике, можно пренебрегать. Это позволяет по- строить модель совместной работы нескольких источников звука, ко- торая достаточно просто исследуется теоретически, что и будет сде- лано в следующем параграфе.

7.6. Поле совместно работающих монополей. Характеристика направленности

В большинстве случаев, которые встречаются на практике при использовании источников звука, важно не только излучить аку- стическую мощность в среду с максимальной эффективностью, но и очень существенным является то, как распределяется при этом энер- гия акустических колебаний в среде. Если поместить в любую точку поверхности излучателя начало сферических координат r, θ, ψ, то интересно рассмотреть не только зависимость амплитуды колебаний от расстояния r вдоль некоторого фиксированного направления, но и ее зависимость от углов θ, ψ на некотором фиксированном расстоя- нии. Последняя зависимость характеризует так называемое свойство направленности излучателя. Если при условии r = const амплитуда не зависит от направления (θ, ψ), то такой излучатель считается нена- правленным (например, пульсирующая сфера); если амплитуда велика в некотором диапазоне углов и мала в других направлениях, то о та- ком излучателе говорят, как о направленном.

Рис. 7.7. Схема эксперимента для определения характеристик направленно- сти излучателя

433

Явление направленности можно проиллюстрировать с помощью несложного эксперимента, для проведения которого необходимо иметь электрический генератор синусоидального напряжения 1, из- лучатель, например, громкоговоритель 2, микрофон 3 и чувствитель- ный вольтметр 4 (рис. 7.7). Установив громкоговоритель на открытой площадке (так, чтобы отсутствовало отражение звука) и, включив звук, передвигайте микрофон по сферической поверхности радиусом r, центр которой совпадает с излучателем. Более практично оставлять микрофон на месте и поворачивать в разные стороны излучатель. На открытом пространстве эти способы измерения являются равноцен- ными. Можно заметить, что напряжение, которое фиксируется вольтметром (оно пропорционально амплитуде акустических колеба- ний в точке размещения микрофона), изменяется в зависимости от направления на излучатель. В этом и проявляется свойство направ- ленности излучателя.

Зафиксируем зависимость амплитуды давления от углов |р(θ, ψ)|: выберем наибольшее из всех значение амплитуды p max = p(θ0,ψ0 ) и

Функция Rp(θ, ψ) называется характеристикой направленности по давлению и используется для количественного описания направлен- ных свойств излучателя. Используют также энергетическую харак- теристику направленности как нормированную угловую зависи- мость интенсивности звука:

Согласно (7.34) такая характеристика направленности RI (θ, ψ) опре- деляется квадратом амплитуды давления. Для наглядности описания трехмерной поверхности Rp (θ, ψ) используют ее сечение плоскостями

θ = const или ψ = const.

При изучении направленных свойств источника звука необходимо рассмотреть следующие вопросы:

1)чем обуславливает явление направленности;

2)какие факторы определяют характеристику направленности из- лучателя.

Ответы на эти вопросы раскрывают основные закономерности яв- ления направленности. Оказывается, что их можно проследить на

434

примере очень простого источника звука, который состоит из двух монополей.

Отдельный точечный источник излучает сферическую волну (7.31), амплитуда которой зависит от расстояния, но не зависит от направ- ления. Итак, точечный источник не имеет направленности. Возьмем излучатель из двух синфазных точечных источников равной произво- дительности, расположенных на расстоянии d один от другого (рис. 7.8), и назовем его синфазной парой. Совместим с левым монополем (понятно, что можно и с правым) начало сферических координат. Угол θ отсчитывается от оси Oz, а угол ψ — в плоскости, перпендику- лярной к этой оси. Окружив излучатель сферой радиуса r, будем рас- сматривать амплитуду давления в точках, которые лежат на сфере, под разными углами θ и ψ. Можно сразу заметить, что звуковое поле, а, следовательно, и характеристика направленности излучателя не зависят от угла ψ, т.е. R(θ, ψ) ≡ R(θ).

Рис. 7.8. Пример синфазной пары монополей

Звуковое давление в точке наблюдения М определяется суперпо- зицией двух сферических волн, которые излучаются монополями:

Временной множитель exp(−iωt) писать не будем. Представим (7.35) в виде

Определим амплитуду давления в точке наблюдения М:

435

определяет сдвиг фазы между звуковыми давлениями волн в точке М. Согласно геометрии задачи расстояние r1 от правого монополя к точ- ке М (рис. 7.8) в сферических координатах r, θ определяется по фор- муле

мы координат до точки наблюдения М, то, как видим, от угла θ зави- сят сдвиг фаз α и амплитуда А1, а следовательно, и амплитуда сум- марного давления. Перемещение точки М по окружности приводит к изменению амплитудно-фазовых соотношений между интерфери- рующими волнами, а соответственно, и к изменению результата ин- терференции — амплитуды суммарного давления. Понятно, что и в общем случае, когда излучатель состоит из большого количества ис- точников, направленность объясняется интерференцией волн.

Характер изменений амплитуды суммарного давления при пере- мещении точки М вдоль окружности можно понять, проанализировав (7.38). Начинаем от точки, расположенной под углом θ = 90°, и будем двигаться вдоль окружности к точке θ = 0° (рис. 7.8). Амплитудно- фазовые соотношения будут изменяться следующим образом. Сдвиг по фазе α = k(r – r1) = 2π(r – r1)/λ увеличивается от 0 до максимального значения 2πd/λ. Если d << λ, то α для всех θ близко к нулю и, следо- вательно, фазовые соотношения остаются практически неизменны- ми. Как следствие, амплитуда давления для всех значений θ является суммой амплитуд двух волн. Если d >λ, то изменение сдвига фаз очень существенно. Можно выделить такие направления (такие θ), вдоль которых разность хода волн (r – r1) кратна длине волны и, сле- довательно, α кратно 2π. Количество этих направлений равно целой части отношения d/λ. Между ними будут направления, для которых α равно нечетному числу π. В направлениях первого типа суммируются синфазные колебания (при этом амплитуды складываются), а в на- правлениях второго типа — противофазные колебания (амплитуды вычитаются). Итак, двигаясь вдоль окружности, можно наблюдать минимумы и максимумы амплитуды колебаний.

Если перенести точку наблюдения на окружность другого радиуса, то снова будут наблюдаться минимумы и максимумы, но под другими углами, поскольку согласно (7.39) сдвиг фаз α = k(r – r1) зависит не только от θ, но и от r. Зависимость амплитуды A1 1/r1 от θ, как сле- дует из (7.40), также неодинакова на разных расстояниях: она тем бо-

436

лее существенна, чем меньше расстояние r. Наоборот, при увеличении r по сравнению с величиной d, разность расстояний r и r1 и амплитуд A и A1 становится все менее существенной при изменении угла θ. Так, если r = 100d, то амплитуда A отличается от A1 не более, чем на 0,5 %. Понятно, что такие особенности оказывают влияние на расчет харак- теристики направленности на разных расстояниях от источника зву- ка. Например, на рис. 7.9 приведены диаграммы направленности Rp(θ), когда точка наблюдения находится на расстоянии r/λ = 3 (кри- вая 1), r/λ = 15 (кривая 2) и r/λ = 100 (кривая 3), от пары монополей, которые наглядно иллюстрируют приведенные выше соображения. Возникает вопрос, как ликвидировать эту неоднозначность в опреде- лении характеристики направленности.

Рис. 7.9. Характеристики направленности пары синфазных монополей, r/λ:

1 — 3, 2 — 15, 3 — 100; d/λ = 2,25

Перепишем (7.40) в виде

Пусть точка наблюдения находится на расстоянии r >> d, тогда сла- гаемым (d/r)2 можно пренебречь по сравнению с единицей:

Далее, приняв во внимание, что d/r << 1, выражение для r1 следует записать в виде ряда:

Формула (7.43) позволяет понять, что на довольно больших по сравне- нию с размером излучателя расстояниях (r >> d) амплитудные множи- тели A и A1 (7.37) становятся практически одинаковыми и независи- мыми от угла θ. Итак, при r >> d можно записать

Тогда выражение (7.38) для амплитуды давления в точке наблюдения упрощается:

Теперь обратим внимание на разность фаз α. В фазе колебаний (7.39) сделать замену в формуле (7.42) корня квадратного на единицу нель- зя, ведь для фазы существенны не относительные, а абсолютные по- грешности. Поэтому условия d/r >> 1 в общем случае недостаточно и следует обратиться к (7.44). Отсюда разность фаз α определяется ря- дом:

Выражение (7.47) позволяет сделать вывод: разность фаз между дав- лениями волн от обоих монополей в точке наблюдения можно считать такой, что не зависит от расстояния, если выполняется второе усло- вие:

При выполнении этого условия можно определить разность хода волн:

и фазовый сдвиг между давлениями волн в точке наблюдения:

438

Понятно, что |p|max определяется при θ = 90°. Отсюда согласно опре- делению (7.33) получаем выражение для характеристики направлен- ности пары синфазных монополей:

Подобные соображения можно повторить и для излучающей сис- темы, которая имеет произвольное число монополей, причем несуще- ственно, будут ли одинаковыми амплитуды и фазы объемных скоро- стей всех монополей. При этом нужно следить за выполнением двух условий:

1)при d/r << 1 сохраняется отношение амплитуд вкладов каждого монополя в точке наблюдения при изменении расстояния;

2)при kd 2 /r << 1 остается неизменной разность фаз при измене- нии расстояния вдоль данного направления.

Второе условие, в отличие от первого, зависит от частоты. Как следствие, более строгим может быть как первое, так и второе усло- вие: при низких частотах более строгим является первое условие, а при высоких — второе. Область пространства, для которого выпол- няются оба условия, называют дальней зоной излучателя. (Вернитесь

крис. 7.9 и попробуйте прокомментировать ход кривых.)

Рис. 7.10. Разность хода волн r : a — общий случай; б —в дальней зоне

Таким образом, к определению характеристики направленности (см. (7.33)) следует добавить замечание относительно точки наблюде- ния: она должна находиться в дальней зоне излучателя. Очевидно, для этой зоны лучевая картинка, показанная на рис. 7.10, а, является несколько иной. Действительно, согласно (7.49) разность хода волн r = dcosθ, такое соотношение имеет место для прямоугольного тре- угольника. Это означает, что в пределах принятого приближения лу- чи, вдоль которых распространяются волны к точке наблюдения, можно считать параллельными (рис. 7.10, б).

На рис. 7.11 приведены характеристики направленности пары синфазных монополей при разном волновом расстоянии между мо-

439

нополями: а) d/λ = 0,5, б) d/λ = 0,725, в) d/λ = 1,0, г) d/λ = 2,25. В

сферических координатах, где фигурирует еще и угол ψ, диаграмма направленности представляет собой поверхность вращения кривой вокруг оси θ = 0. Анализируя (7.52) и графики на рис. 7.11, можно прийти к выводу, что вид характеристики направленности определя- ется волновыми размерами излучателя d/λ: при d/λ << 1 синфазная пара монополей является ненаправленным излучателем, при увеличе- нии d/λ у диаграммы направленности появляются максимумы и ми- нимумы, т.е. возникают так называемые лепестки диаграммы на- правленности.

Для количественной характеристики формы лепестков характери- стики направленности вводят понятие ширины лепестка. Обычно ее

определяют на уровне 1 2 ≈ 0,707 от максимума (что соответствует

половинной мощности); например, на рис. 1.11, а ширина лепестка составляет θ ≈ 40°.

Рис. 7.11. Характеристика направленности пары синфазных монополей, d/λ: а — 0,5; б — 0,725; в — 1,0; г — 2,25

Рис. 7.12. Характеристика направленности несинфазной пары монополей: d/λ = 0,5, β = π/2

Рассмотрим общую ситуацию, когда колебательные скорости пары точечных источников имеют некоторый сдвиг фазы β: υ1 = υ0exp(–iωt), υ2 = υ0exp(–iωt + iβ). Рекомендуем читателю самостоятельно записать выражение для звукового поля в дальней зоне и потом получить сле- дующую формулу для характеристики направленности несинфазной пары монополей:

440