Условие нормировки волновой функции:
Rnl (r; E)Rn l (r; E)r2dr 2 E E ,
0
|
|
|
С2 sin(kr ) sin(k r ) r2dr 2 E E . |
||
0 |
r |
r |
Из этого условия при d = 0 следует, что C = 2.
Rn0 (r) Pn0r(r)2 2 sinrkr ,
k 2mE .
Для состояний с l ≠ 0 уравнение для функции P(r) имеет вид:
d 2 P(r) |
|
2 |
|
( 1) |
|||
dr |
2 |
k |
|
r |
2 |
P(r) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для состояний с l ≠ 0 решение уравнения можно найти в виде:
|
R |
|
(r) r |
n |
(r), |
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P |
(r) r 1 |
n |
(r). |
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Результат для функции R(r) (общее решение): |
|
|||||||||||||
R |
(r) 1 |
2 |
r |
|
d |
sin kr . |
||||||||
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rdr |
||||
Результат также может быть выражен через сферические функции Бесселя:
Rn (r) 2k j (kr),
где |
j (kr) |
|
J |
|
|
(kr), |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|||
|
|
2kr |
|
|
||
|
|
2 |
|
|||
J |
1 (kr) - цилиндрическая функция Бесселя полуцелого порядка. |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выпишем три первые сферические функции Бесселя, соответствующие состояниям s-, p-, и d – симметрии.
j0 (kr) sinkrkr ,
|
j (kr) sin kr |
cos(kr) , |
|
||
|
1 |
(kr)2 |
kr |
|
|
|
|
|
|||
j (kr) 3sin kr |
3cos kr sin kr . |
||||
2 |
|
(kr)2 |
|
(kr)2 |
kr |
|
|
|
|||
Итак, состояния свободной частицы с определенным значением момента импульса описываются следующими волновыми функциями:
nlm (r, , ; E) 2kn j (knr)Y m ( , ),
kn 2mEn .