Таким образом, прямой подстановкой мы показали, что сферические гармоники являются собственными функциями оператора Лежандра. Соответствующие им собственные значения не зависят от индекса m. Собственные значения, по крайней мере, для l = 0,1,2 можно представить в виде таблицы.
l |
λ |
0 |
0 |
1 |
2 |
2 |
6 |
3 |
12 |
4 |
20 |
Для значений l = 3,4 мы вычислений не проводили. Предоставим вам возможность убедиться в правильности приведенных значений самостоятельно.
Нетрудно записать подобную таблицу для собственных значений оператора квадрата момента импульса.
|
2 |
|
Y , Y , , |
f , 2 f , . |
L2 2 ,
L2 - собственные значения оператора квадрата момента импульса.
l |
L2 |
0 |
0 |
1 |
2 2 |
2 |
6 2 |
3 |
12 2 |
4 |
20 2 |
Сферическими функциями называются однородные полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа
0.
В сферических координатах это уравнение имеет вид
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 2 |
|
||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
r |
|
|
|
sin |
2 |
|
|||||||||
r |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||
В сферических координатах полином будет иметь вид
(r, , ) r Y m ( , ).
Мы знаем, что сферические гармоники являются собственными функциями оператора Лежандра. Вычислим производные по r
r 1Y ( , ),
r
|
|
|
|
|
||
|
|
r r 1Y ( , ); |
||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
r |
|
r r |
Y ( , ); |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
( 1)r Y |
( , ). |
||
|
||||||
r |
|
r |
|
|
|
|
Подставим вычисленные производные в уравнение Лапласа
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 2 |
|
||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
r |
|
|
|
sin |
2 |
|
|||||||||
r |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||
Получится:
l |
ˆ |
( 1)r |
Y ( , ) r Y ( , ) 0. |
Здесь Λ – оператор Лежандра. Таким образом,
l |
ˆ |
( 1)r |
Y ( , ) r Y ( , ). |
Разделив на rl, получим:
( 1)Y ( , ) ˆ Y ( , ),
откуда следует, что величина l(l+1) собственное значение оператора Лежандра (l – целое число).
Вычисленные по этой формуле значения совпадают с найденными ранее методом прямой подстановки.
l |
λ, l(l+1) |
Собственные |
l |
L2 |
|
||
0 |
0 |
значения оператора |
0 |
0 |
|
||
|
|
квадрата |
момента |
|
|||
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|||
импульса |
можно |
||||||
2 |
6 |
||||||
найти по формуле |
2 |
6 |
2 |
||||
3 |
12 |
L2 ( 1) 2 . |
3 |
12 2 |
|||
4 |
20 |
4 |
20 2 |
||||
Движение частицы в сферически симметричном потенциале
5. Оператор проекции момента импульса на ось OZ и его собственные значения и собственные функции.
В сферических координатах оператор проекции момента импульса на ось
OZ имеет вид:
Lz i .
Найдем его собственные значения и собственные функции.
Уравнение для определения собственных функций и собственных значений этого оператора
LZ U ( ) zU ( ).
i U( ) U( ) |
||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
i z |
|
|
U U0e |
|
|||
Тогда |
i e |
|
|
|
U U0 |
|
|||
|
|
i z |
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки в уравнение получим
z i U0 |
i |
i z |
|
i z |
. |
|
e |
zU0e |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Это уравнение обращается в тождество, если функция периодична (так как она является проекцией вектора на ось oz). Т.е. должно выполняться условие
Отсюда
а это возможно, если
U ( ) U ( 2 m).
i |
z |
|
|
i |
z |
( 2 ) |
. |
|
|
|
|
||||||
U0e |
U0e |
|||||||
|
|
|
ei |
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
z |
1, |
z m . |
|||
- целое число. |
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как lz – проекция момента импульса на ось OZ, она не может быть больше, чем l.
Классификация состояний сферической симметрии по величине момента импульса и его проекции на ось OZ.
Состояние |
|
m |
L |
Lz |
Lx, Ly |
|||
s |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
– |
Не |
|
p |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
опреде- |
|
2 |
|
||||||
|
|
1 |
|
+ |
лены |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– 2 |
|
|
|
– |
2 |
Не |
|
|
– 1 |
|
|
|
– |
|
|
d |
2 |
0 |
|
|
|
|
0 |
опреде- |
|
6 |
|
||||||
|
|
1 |
|
+ |
|
лены |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
