Добавил:

cc2d3p Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

Лекции по квантовой механике / Лекция по КМ №9 - Сферические координаты. Уравнение Шредингера.pptx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2023

Размер:

2.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Движение частицы в сферически симметричном потенциале

6. Основные результаты.

1. Волновая функция может быть определена в виде

(r, , ) R(r)Y( , ),

где R(r) – радиальная часть ВФ, а		Y( , ) – угловая.
2. Состояние	частиц	в сферически-симметричных полях

характеризуются определенными значениями момента импульса частицы и проекции момента импульса на ось OZ:

L ( 1), Lz m ,

где l – орбитальное, а m – магнитное (азимутальное) квантовые числа.

3. Угловые части ВФ – сферические гармоники, обладающие определенной пространственной симметрией.

4.Для пространственной ориентации волновых функций справедливы правила пространственного квантования.

5.Функция R(r) определяется специально для каждого вида потенциала.

6. Радиальное уравнение Шредингера можно представить в виде:

1 d

R(r)

R(r) U (r)R(r) ER(r).

2m r

2mr

Учитывая, что

L2 2 ( 1) ,

радиальное уравнение Шредингера можно переписать так:

1 d

2 ( 1)

R(r)

R(r) U (r)R(r) ER(r).

2m r

2mr

Первые два слагаемых представляют собой кинетическую энергию частицы в сферически симметричном потенциале. Причем, первое слагаемое связано с радиальной составляющей вектора скорости частицы, а второе – с угловыми составляющими.

Во втором слагаемом производится простое умножение волновой функции на некоторую другую функцию, так же, как и в третьем слагаемом, выражающем потенциальную энергию частицы. Поэтому уравнение часто переписывают в виде:

1 d

2 ( 1)

R(r)

U (r) R(r) ER(r)

2m r

2mr

и называют второе слагаемое в скобках «центробежным барьером». Такое название не отражает физического смысла этой величины, но иногда встречается в литературе. Происхождение его, по-видимому, связано с тем, что его можно формально рассматривать, как «добавку» к потенциальной энергии частицы.

Отметим, что для состояний s-симметрии, для которых l = 0, «центробежный барьер» отсутствует.

Движение частицы в сферически симметричном потенциале

7. Движение свободной частицы. Сферические волны.

Рассмотрим движение свободной частицы. Ранее мы уже рассматривали его, и установили, что спектр значений энергии в этом случае непрерывен, а волновыми функциями являются плоские волны, каждая из которых соответствует определенному значению импульса частицы.

Теперь рассмотрим движение свободной частицы в сферических координатах. Запишем радиальное уравнение Шредингера:

1 d

2 ( 1)

R(r)

U (r) E R(r) 0.

2m r

2mr

Частица свободна, следовательно, ее потенциальная энергия равна нулю, а полная механическая энергия равна кинетической энергии.

2 1

2m r2

d r2 dr

	E	p2		2k 2		,
		2m		2m

			2 ( 1)
R(r)				2mr	2

2k 2 R(r) 0. 2m

Умножим уравнение на 2m2 .

2	2m 1				d		2
		2				r
2m			r	2
					dr

После сокращений:


d		2m 2 ( 1)				2m 2k 2
	R(r)		2	2mr	2		2	2m	R(r) 0.

dr

1 d

( 1)

R(r)

R(r) 0.

1 d

( 1)

R(r)

R(r) k

R(r) 0.

Вычислим производную в первом слагаемом:

1 d

dR(r)

2 d 2 R(r)

R(r)

2 dR(r)	d 2 R(r)	.
r dr	dr2

Теперь радиальное уравнение Шредингера можно записать так:

d 2 R(r)		2 dR(r)		2	( 1)
dr	2	r dr	k		r	2	R(r) 0.

Решение уравнения Шредингера в сферически симметричном случае можно записать как произведение радиальной и угловой частей волновой функции:

nlm (r, , ; E) Rnl (r; E)Ylm ( , ).

Для волновой функции должно выполняться условие нормировки:

nlm (r, , ) *n l m (r, , )dV nn ll mm . V

Нормировка по l и m обеспечивается сферическими гармониками, а условие нормировки по n должно обеспечиваться радиальной частью волновой функции:

Rnl (r; E)R*n l (r; E)r2dr 2 E E .

Радиальное уравнение Шредингера можно упростить, если искать решение для функции P(r) = r·R(r). Выполним в уравнении Шредингера замену функции R(r) = P(r)/r.

d 2 P(r)

2 d P(r)

( 1)

P(r)

r dr r

Вычислим производные в первом и втором слагаемых уравнения.

d P(r)

P(r)

1 dP(r) .

r dr

d 2 P(r)

P(r)

1 dP(r)

1 dP(r)		2	P(r)	1 dP(r)		1 d 2 P(r)	.
r2	dr	r3		r2	dr	r dr2

Подставим вычисленные производные в уравнение:

1 d 2 P(r)

2 dP(r)

P(r)

1 dP(r)

( 1)

P(r)

r dr

1 d 2 P(r)

2 dP(r)

2P(r)

2 dP(r)

( 1)

P(r)

r dr

1 d 2 P(r)						2
r dr		2		k
r dr
d 2 P(r)					2
dr	2		k
dr

Для состояния с l = 0:

( 1)				P(r)	0.
	r	2		r	0.
	r			r
( 1)
r	2		P(r) 0.
r

d 2 P(r) k 2 P(r) 0. dr2

Решение этого уравнения хорошо известно:

P(r) Asin(kr ).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции по квантовой механике

#
01.03.2023638.02 Кб20Лекция по КМ №4 - Яма с конечными стенками. Коэффициент прозрачности.pptx
#
01.03.2023713.36 Кб23Лекция по КМ №5 - Яма с конечными стенками. Волновая функция.pptx
#
01.03.2023817.15 Кб19Лекция по КМ №6 - Туннелирование.ppt
#
01.03.20231.03 Mб17Лекция по КМ №7 - Теория возмущений.ppt
#
01.03.2023992.77 Кб20Лекция по КМ №8 - Вариационный метод.ppt
#
01.03.20232.34 Mб25Лекция по КМ №9 - Сферические координаты. Уравнение Шредингера.pptx