Предположим, что решение уравнения Шредингера можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты r, а другая – только от угловых координат q, j:

(r,q,j) =

R(r)Y(q,j).

Проверим, при каких условиях это возможно и к каким последствиям это приведёт. Подставим решение в виде произведения двух функций в уравнение Шредингера.

Оператор в первом слагаемом не действует на функцию Y(q,j), так как она зависит только от угловых переменных. Вычислим первое слагаемое.

Во втором слагаемом оператор Лежандра не действует на функцию R(r), а действует только на Y(q,j), так как в выражение для оператора Лежандра входят только угловые переменные. Если Y(q,j) является собственной функцией оператора Лежандра, то

Y , Y , .

Преобразуем второе слагаемое уравнения Шредингера:

l - собственное значение оператора Лежандра.

В третьем слагаемом и в правой части уравнения нет операторов, там стоит произведение трех функций, поэтому никаких преобразований не требуется. Таким образом, уравнение Шредингера можно записать так:

Y ( , )ER(r).

Y ( , )U (r)R(r) Y ( , )ER(r).

Теперь Y(q,j) является сомножителем во всех слагаемых, поэтому для того, чтобы функция (r,q,j) стала решением уравнения Шредингера, функция R(r) должна быть решением уравнения

Это уравнение называют радиальным уравнением Шредингера.

ВЫВОДЫ:

Таким образом, в случае сферической симметрии решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

Y(r,q,j) = R(r)Y(q,j),

где R(r) - решение радиального уравнения, а Y(q,j) - собственные функции оператора Лежандра.

Отметим, что функции Y(q,j) не зависят от вида зависимости потенциальной энергии от r и поэтому являются универсальными функциями для всех видов сферически симметричных потенциалов. Зависимость от радиуса содержится только в функции R(r), которую можно найти, решая радиальное уравнение Шредингера, которое является теперь не уравнением в частных производных, а обыкновенным дифференциальным уравнением.

Известно, что собственными функциями оператора Лежандра являются функции, которые называют сферическими гармониками. Они зависят от двух индексов, обозначаемых буквами l и m. Общая формула для вычисления значений этих функций выглядит так:

План дальнейшего изложения:

1)убедимся, что указанные функции являются собственными функциями оператора Лежандра;

2)найдем собственные значения оператора Лежандра, соответствующие этим собственным функциям;

3)найдем собственные значения оператора квадрата момента импульса, а также собственные значения оператора момента импульса;

4)найдем собственные значения оператора проекции момента импульса на ось OZ;

5)рассмотрим классификацию квантовых состояний в сферически симметричном потенциале по значению момента импульса и его проекции, введем понятие пространственного квантования.

Убедимся, что сферические гармоники являются собственными функциями оператора Лежандра и одновременно найдем соответствующие им собственные значения. Для этого подействуем оператором Лежандра на сферические гармоники.

Y00 , 00Y00 , 0,

00 0.

20 6.