FTT_Sadykov_3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

концентрации n . При T 0 (3.21)

перепишем, пользуясь формулой интегрирования по

E dE , (3.22)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

409.34 Кб

Скачать

☆

f0 E :

3.Статистика электронных состояний.

Вразделе 2 были определены возможные в кристалле электронные состояния:

блоховские состояния, волновые функции и закон дисперсии для них, зоны разрешенных энергий, а также примесные состояния. Далее мы будем говорить о том, как заполняются эти состояния.

Функция плотности состояний.

Концентрация электронов и дырок в зонах.

Прежде всего, введем функцию плотности состояний в пределах зоны разрешенных

энергий.	В	случае		зоны	проводимости, например,	с законом	дисперсии
E k Ec		2k 2	2m	эта функция, g E , определяется соотношением:
				dz g E dE ,		(3.1)
где dz -	число		электронных		состояний, энергии которых	заключены в	интервале

E E dE . С другой стороны это число равно удвоенному (спиновое вырождение!) числу


блоховских состояний, приходящихся		на объем k - пространства, заключенный между
двумя сферическими изоэнергетическими			поверхностями		с энергиями E и E dE и
радиусами k и k dk , соответственно,			деленный на		объем, приходящийся на один
волновой вектор 2 3 V . Таким образом,			dz 2 4 k 2Vdk 2 3 . Переходя в последнем
выражении к переменным энергии, в соответствие с определением (3.1), получим:

	g E 4 V 2m*	h2 3\2 E Eс 1\2		.	(3.2)

Для определения концентрации электронов (их числа в единице объема) необходимо функцию плотности (при V 1) интегрировать по энергии в пределах зоны проводимости с учетом вероятности заселения электронных состояний согласно равновесной функции распределения Ферми

	Emax
	c	g E f0 E dE Nc F1\2 ,
n		g E f0 E dE Nc F1\2 ,	(3.3)

f0	E	exp E F		1	.	(3.4)
			kT 1

Функция f0 E определяет вероятность заполнения уровня энергии E при температуре T ,

F - уровень Ферми, символ k перед T впредь будет означать постоянную Больцмана.

Интегрирование в (3.3) от дна зоны

1 f0 (E)

1/2

проводимости E

до ее максимальной энергии Emax

, которую мы заменим на , поскольку

значение f

при E Emax

практически равно нулю. Интеграл Ферми-Дирака

1\2

введенный в (3.3), имеет вид:

exp 1 1 1\2d

1 2

, (3.5)

1/ 2

где переменной интегрирования является приведенная энергия E Ec kT и введен

F Ec kT - приведенный уровень Ферми. Постоянную

называют приведенной

плотностью состояний,

2 m*kT 3\2

m* 3\2

3\2

Nc 2

2,5 10

(3.6)

300

Интеграл Ферми может быть упрощен для значений 1 . В этом случае под интегралом в

(3.5), в квадратных скобках, можно пренебречь единицей во всем интервале интегрирования.


Интеграл 2 1\2 exp 1\2d 1 - табличный, и поэтому:
0
n Nc exp Nc e Ec F / kT .	(3.7)

Условие F Ec kT 1 означает, что уровень Ферми F лежит в запрещенной зоне, ниже дна зоны проводимости Ec , по крайней мере, на величину kT (см. Рис.3.1). Этот случай известен как невырожденное распределение электронов в зоне проводимости.

Концентрация дырок (электронных вакансий в валентной зоне) определяется по аналогии с

(3.3) и (3.5):

E
p v	g p E 1 f0	E dE Nv F1/ 2 i ,		(3.8)

здесь введена функция распределения дырок
		1		1
f p E 1 f0 E exp F		E kT 1	exp p	i 1

с p Ev E kT , i Ec Ev kT ,

и функция плотности дырочных состояний с mv* - эффективной массой дырок:

g p E 4 V

2mv

h2 3/ 2 Ev E 1/ 2 .

(3.9)

При условии i 1

или F Ev

kT (невырожденное распределение дырок) (3.8)

сводится:

p Nv exp i Nv exp F Ev

kT .

(3.10)

2 mv*kT 3\2

mv* 3\2

3\2

Nv 2

2,5 10

300

Для полупроводников, в приближении слабого легирования (см. (3.7) и (3.10)) имеет

место закон действующих масс:

n p N	e N	e i N	N	e i	.	(3.11)
c	v	c	v

Т.е. это произведение зависит только от ширины запрещенной зоны и не зависит от степени и характера легирования (донорами или акцепторами) полупроводника.

Выражения (3.3), (3.7) и (3.8), (3.10) показывают, что положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости и потолка валентной зоны является своего рода индикатором значения концентрации носителей в зонах. Это будет использовано нами в Разд. 7 при формулировке концепции квазиуровней Ферми.

Статистика примесных состояний.

Доноры, как мы видели в разделе 2, приводят к образованию примесных уровней Ed .

При абсолютном нуле все электроны находятся на этом уровне, т.е. концентрация связанных на уровне Ed электронов равна nd Nd (случай однократной ионизации доноров), где Nd -

концентрация донорной примеси. С повышением температуры происходит ионизация примесного уровня, т.е. становится отличной от нуля концентрация дырок pd на примесном

уровне. При произвольной температуре должно выполняться соотношение Nd pd								nd .
Отношение концентраций		pd	и nd определяется соотношением:

	n	p	g exp E		F / kT	.	(3.12)
	d	d		d
Коэффициент вырождения g связан с тем, что состояние							Ed , занятое электроном,	имеет

двукратное вырождение по спину, тогда как дырочное состояние (отсутствие электрона) не вырождено. Далее находим:

		n ge Ed F / kT N		d	n			,
		d		d		d
nd Nd		g 1 exp Ed F kT 1
	g 1 exp d 1 ,		d Ec				Ed		(3.13)
Nd	g 1 exp d 1 ,		d Ec				Ed		kT
									kT
						.
	и	pd Nd g exp d	1			.			(3.14)

Акцепторная примесь порождает примесный уровень Ea (связанная дырка). Степень заполнения этого уровня характеризуется концентрациями pa и na , при этом na pa Na

- концентрация акцепторных примесей.

Зависимость уровня Ферми от температуры в полупроводниках.

Условие термодинамического равновесия в электронной подсистеме полупроводника выражается в том, что все концентрации n, p, pd ,na , полученные ранее, контролируются одним и тем же уровнем Ферми F . Следовательно, равновесное значение этого параметра


может быть определено из условия электронейтральности среды,							n na	p pd	. В случае
собственного полупроводника имеем n p или:
				,
			Nc exp Nv exp i	,
откуда следует:
					.
		F Ec Ev 2 kT 2 ln Nv Nc			.	(3.15)
Перепишем электронную концентрацию с учетом (3.15):

	n Nc exp Ec F kT Nc Nv 1 2 exp EA					kT ,
где введена энергия активации EA Ec Ev 2 , характеризующая								экспоненциальную

зависимость концентрации n от обратной температуры.

Nc exp Nd g exp d

n pd :

Рассмотрим теперь примесный (донорный) полупроводник. При достаточно низких температурах межзонная генерация неэффективна и электроны в зоне проводимости появляются благодаря ионизации доноров. Электронейтральность в этих условиях выражается условием

1 1 . (3.16)

А) Рассмотрим это выражение при таких низких температурах, что exp d 1,

так что в знаменателе правой части единицу можно отбросить

exp 2 Nd gNc 1 exp d ,

откуда легко получить поведение уровня Ферми для рассматриваемых условий:

		.
	FdA Ec Ed 2 kT 2 ln Nd gNc 1	.	(3.17)
Выражение под логарифмом обычно меньше единицы, т.е.			F A	убывает линейно с
			d

температурой. Этот режим известен как режим ионизации примесей. Зависимость концентрации электронов от температуры равна:

n Nc exp Ec FdA kT Nc Nd g 1 12 exp EAd kT ,

т.е. она определяется энергией активации EAd Ec Ed 2 .

B) Температура выше, чем в случае А), но в то же время достаточно низкая; при этом все доноры ионизованы, но межзонная генерация все еще не эффективна. В этом случае n Nd , т.е. знаменатель в правой части (3.16) равен единице. Находим:

						. (3.18)
n N	exp N	,	F B E kT ln N	d	N	. (3.18)
c	d		d c	d	c

Это опять линейно убывающая функция температуры и, легко показать, энергия активации равна нулю.

n Nc exp Ec FdB kT Nd .

Данный температурный диапазон называется областью истощения примесей.

Таким образом, в области температур 0 T TS идет ионизация примесей (зависимость

(3.17)), а при TS T Ti - ионизация примесей прекращается (истощение примесей) -

зависимость (3.18). При температурах T Ti становится возможной межзонное возбуждение носителей и система далее ведет себя как собственный полупроводник.

Характеристические температуры TS , Ti определяются приравниванием (3.17), (3.18), и

(3.18), (3.15), соответственно.

Ec Ed

kTS

gNc

1/ 2

Ec Ed

kTS

, TS

gNc

1/ 2

2k ln

gNc

Ec Ev

kTi

Ec kTi ln

1/ 2

Ec Ev

kTi ln

, Ti

1/ 2

2k ln

; (3.19)

(3.20)

Температура TS , при которой доноры уже истощены, а ионизация валентной зоны еще не эффективна, равна 30 К и 40 К для Ge и Si, соответственно. В то же время Ti -

температура, при которой электронная концентрация начинает возрастать благодаря ионизации валентной зоны, равна 450 К и 680 К для Ge и Si. Таким образом, мы видим, что в указанных полупроводниках экспоненциальная зависимость концентрации носителей от температуры не имеет места в широком диапазоне температур. Схематически зависимость концентрации электронов в зоне проводимости донорного полупроводника показано на Рис.

3.2.

Электронная концентрация в металлах. Зависимость уровня Ферми от

температуры.

При анализе концентрации электронов в металле мы считаем, что концентрация электронов в зоне проводимости постоянная, т.е. она от температуры не зависит (в случае полупроводников это не так). Для концентрации электронов справедливо выражение (3.3),

которое мы перепишем положив Ec 0 :


	n g E f0	E dE .		(3.21)
	0
				F 0		E dE . Последним
При T 0	это выражение может		быть переписано как	n	g	E dE . Последним
					0
равенством	определяется F 0	-	уровень Ферми при T 0 ,		соответствующий данной

где G E g(E)dE , а f0 E E - обладает свойством дельта функции (Рис.3.3).

и полученный ряд подставляется в (3.22), под интеграл. Результат имеет вид:

n G F 1 2 kT 2 g

6 E

F ,

(3.24)

где принято во внимание, что линейный член разложения (3.23) при интегрировании дает нуль, а квадратичный член, приводит к результату:

dgdE F 1 2 E F 2 f0 E E 2 kT 2 6 dgdE F .

Перепишем (3.24), вводя F 0 :

F 0	F		1						g
	g E dE g E dE			2	kT 2					F

			6						E
0	0		6						E
0	0
F 0		F 0 F				1					g
g E dE g E F						1	2	kT 2			g
g E dE g E F						6	2	kT 2			E F
F						6					E F
F

F F 0	1	kT	2 ln g E		F	. (3.25)


	6			E

Изменение уровня Ферми с температурой в металлах не связано с изменением концентрации электронов. Это есть результат расширения переходной (от 1 к 0) области функции распределения Ферми (Рис.3.4).

g(E)

Электронная теплоемкость.

Средняя энергия электронов проводимости равна:


E el Eg E f0	E dE g, E f0	E dE . (3.26)
0	0

Этот интеграл можно вычислить тем же методом, что был использован выше, заменив g E g, E Eg E :

d g E E

E el Eg E dE

2k 2T 2

(3.27)

E F

Отсюда можно получить электронную теплоемкость:

d E

dg E

CVel Fg F

2 2k 2T F

g F ,

dE E F

* 3 / 2

CVel

2k 2Tg F

2k 2T 4

F1/ 2 .

(3.28)

Сравним эту величину с теплоемкостью, записанной на основе классических соображений, т.е. энергия единицы объема классического электронного газа равна

концентрации n умноженной на 3kT2 , откуда:

CVel	3kn 2 3k 2 4 2m 3 2 F 3 2 2 3h3 ,	n 4 2m 3 2 F 3 2 2 3h3 .
	classic

Найдем отношение

CDреш.

значения объясняется вырождением электронного газа. Это означает, что в процессах обмена энергией участвуют только электроны, энергии которых расположены вблизи уровня Ферми в пределах kT , тогда как электроны, расположенные достаточно далеко от F (более чем на kT ), в этих процессах не участвуют (см. рис.3.4).

Интересно также сравнить электронную теплоемкость с решеточной теплоемкостью

при низких температурах , что будет сделано в Разд.5.

1 f0 (E)

1/2

Рис. 3.1.

Рис. 3.2.

g(E)

Рис. 3.3.

g(E)

Рис. 3.4.

Соседние файлы в папке ФТТ_Садыков_2012

#
10.02.2015337.03 Кб20FTT_Sadykov_1.pdf
#
10.02.2015967.18 Кб23FTT_Sadykov_2.pdf
#
10.02.2015409.34 Кб20FTT_Sadykov_3.pdf
#
10.02.2015417.43 Кб20FTT_Sadykov_4.pdf
#
10.02.2015613.27 Кб19FTT_Sadykov_5.pdf
#
10.02.2015553.51 Кб19FTT_Sadykov_6.pdf
#
10.02.2015571.76 Кб18FTT_Sadykov_7.pdf
#
10.02.2015386.84 Кб21FTT_Sadykov_8.pdf