Fiz_Polupr_dlya_stud / ФТТ_Садыков_2012 / FTT_Sadykov_7
.pdf7. Оптические свойства полупроводников.
Коэффициент поглощения.
Под оптическими свойствами полупроводника подразумевается его способность менять характеристики светового излучения, которое с ним взаимодействует. В частности,
интенсивность I x излучения с плоским фронтом при прохождении через поглотитель меняется как:
|
I x I 0 exp x , |
|
(7.1) |
где - |
линейный коэффициент поглощения (для твердых тел 103 104 см-1). Из (7.1) |
||
следует: |
|
|
|
|
dI dx I d dt |
c Q c . |
(7.2) |
Здесь мы использовали соотношение I x c для плоской волны и приравняли теряемую
излучением плотность мощности d dt удельной мощности Q , поглощаемой
полупроводником. Поглощение энергии излучения связано с различными электронными переходами (механизмами). Фотон может вызвать электронный переход зона-зона, что приводит к собственному поглощению (Рис. 7.1а). Электронным переходам с участием дискретных примесных уровней (Рис. 7.1б) соответствует примесное поглощение. Отметим также поглощение на свободных носителях; электрон (или дырка) поглощает фотон и увеличивает свою энергию, оставаясь в пределах зоны проводимости (или валентной зоны)
(Рис. 7.1в). Мы вычислим Q в предположении межзонных переходов.
Q |
1 |
|
|
W |
f E |
1 f E |
|
|
W |
f E |
|
1 f E |
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
V |
|
kk ' |
k |
|
k ' |
|
k ' k |
k ' |
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||
kk ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Здесь Wkk ' - вероятность индуцированного перехода электрона из состояния k |
валентной |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
зоны в состояние k ' зоны проводимости. |
Суммирование по |
k |
и k ' |
проводится по зоне |
||||||||||||||||||||
Бриллюэна для кристалла единичного объема. Далее пользуемся свойством Wkk ' |
Wk 'k для |
|||||||||||||||||||||||
вероятности индуцированных светом переходов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
1 |
|
|
|
W |
f |
E |
f E |
|
, |
(7.3) |
||||
|
k ' |
||||||||||||||
|
V |
kk ' |
|
|
|
k |
|
|
|
||||||
|
|
kk ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Wkk ' |
2 |
|
|
|
ˆ |
|
|
2 |
Ek ' Ek |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
k ' |
Hint |
k |
|
(7.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим Hint - оператор взаимодействия электронной системы с полем излучения в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E0 exp ikphot r i t . Векторный |
||||||
виде монохроматической плоской |
волны |
|
E |
x,t |
|||||||||
потенциал, |
соответствующий |
такому |
|
полю |
|
|
в |
лоренцевой |
калибровке |
- |
|||
A x,t i cE0 |
exp ikphot r i t . |
Известно, |
что |
оператор импульса частицы |
в |
||||||||
электромагнитном |
поле принимает |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
Дополнительные слагаемые |
в |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
вид p p eA c . |
операторе кинетической энергии, обусловленные векторным потенциалом (здесь в линейном
приближении) и составляют ˆ :
Hint
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
e A |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Hint |
i |
|
A A |
i |
|
|
|
|
. |
(7.5) |
|||||||
2m c |
m c |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
, его матричный элемент между |
|||||||
Если использовать точное выражение для Hint |
блоховскими состояниями k exp ikr Uk r равен:
k ' |
|
ˆ |
|
k |
i e E0 |
|
3 |
r exp i k ' k k phot r |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Hint |
|
2m0 d |
|
||||||
|
|
|
|
|
* |
2k kphot |
|
ˆ |
|
. (7.6) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Uk ' |
2i Uk |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если используем для ˆ приближенное выражение (см. правую часть (7.5)), получим
Hint
k ' |
ˆ |
k |
i e E0 |
3 |
r exp i k ' k k phot r |
|
Hint |
2m0 d |
|
||||
|
|
|
* |
ˆ |
|
. (7.6’) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Uk ' |
2k 2i Uk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (7.6) сводится к выражению (7.6’), если слагаемым k phot в квадратных скобках можно пренебречь. Как будет показано ниже, для оптических переходов действительно можно пренебречь k phot , поэтому мы примем приближение (7.5). Подставляя теперь все необходимое в (7.1), с учетом E02 8 , находим:
|
|
|
|
8 |
|
2 |
eE0 |
|
2 |
|
exp ikphot r |
|
|
ˆ |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ' |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
cE02V |
|
|
m0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
kk, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
, E |
f E |
f E , |
. |
|
|
(7.7) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
ˆ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
k ' |
exp ikphot r |
k |
d |
r exp i k ' k kphot r Uk ' k i Uk . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F r , а |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В последнем интеграле обозначим |
квадратную |
скобку |
|
как |
экспоненту как |
exp iKr . Интеграл не должен зависеть от выбора начала координат. Производя сдвиг
переменной |
интегрирования на вектор |
решетки |
и имея в виду, что |
F r – функция |
||||||||||||
периодическая c периодом решетки, можно записать: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F r exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
F r . |
|
d 3r exp iKr |
iKl |
d 3r exp iKr |
(7.8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из (7.8) следует закон сохранения квазиволнового вектора (квазиимпульса) при |
||||||||||||||||
|
|
k ' k kphot |
g . Это соотношение необходимо учесть, прежде |
|||||||||||||
оптических переходах, K |
чем переписать (7.7) в окончательном виде. Для оптических фотонов (с энергией порядка
1eV ) k phot приблизительно на три порядка меньше волновых векторов электрона k и k ' ,
значения которых определяются размерами зоны Бриллюэна. Поэтому закон сохранения
квазиволнового вектора может быть взят |
в приближении |
k ' k |
g , а при g 0 как |
|||||||||||||
k ' k . Перепишем (7.7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
eE0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k ' k |
|
pk 'k |
|
2 |
Ek, Ek |
f Ek f Ek, , (7.7’) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
3 |
m0 |
|
||||||||||||
|
cE0V |
kk, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где введен матричный элемент оператора импульса
pk ' k i |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||
k ' |
|
k . |
|||
|
|
|
|
|
|
С учетом символа Кронекера одно суммирование в (7.7’) снимается, далее переходя от суммирования к интегрированию в k – пространстве (и далее, в пространстве квазиимпульса p k ), получаем:
|
|
2e2 |
|
|
|
d 3 p |
|
p |
p |
|
2 |
|
E |
E |
|
f E f |
E |
. (7.9) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cm2 |
|
|
cv |
|
|
|
|
c |
v |
|
|
v |
|
|
c |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вместо k и k ' |
|
введены состояния |
v |
и c , |
|
в валентной зоне и в зоне проводимости, |
|||||||||||||||||
соответственно, зависящие от |
p . Матричный элемент перехода зона-зона равен: |
||||||||||||||||||||||
|
pcv p d |
3 |
|
* |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
i d |
3 |
|
|
* ˆ |
|
|
||||
|
|
r Ukc r |
|
k i Ukv |
r |
|
r |
Ukc Ukv |
|
, (7.10) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где упрощение в (7.10) произошло в силу ортогональности функций Блоха для различных зон [2].
3 |
* |
r |
|
|
3 |
* |
r Ukv |
|
0. |
d |
r Ukc |
kUkv r |
k d |
r Ukc |
r |
Прямые оптические переходы.
Прямая и непрямая зонная структура полупроводников.
Выше мы убедились, что при оптических переходах волновые вектора начального и
конечного электронных состояний практически совпадают ( k ' k ). Поэтому оптические
переходы принято называть прямыми или вертикальными, поскольку значения электронной энергии в точках k и k ' в этом случае могут быть представлены на графике вертикальными линиями. Полупроводники, в свою очередь, делятся на прямозонные и непрямозонные в
зависимости от того, одной и той же точке зоны Бриллюэна p0 k0 соответствуют
экстремумы их валентной зоны и зоны проводимости, или нет. Два возможных случая представлены на Рис. 7.2а и 7.2б, соответственно, и для каждого из них показаны прямые оптические переходы. Примечательно, что для прямозонной структуры свет может вызвать
переход с потолка валентной зоны на |
дно зоны проводимости, при энергиях фотона |
Eg . Что касается непрямозонных |
структур, здесь между экстремумами прямой |
оптический переход невозможен, однако возможен непрямой (комбинированный) переход
(пунктирная линия на Рис.7.2б), в котором помимо фотона принимает участие фонон. Закон сохранения квазиволнового вектора теперь имеет вид k ' k kphon . Вероятность комбинированных переходов, как правило, меньше вероятности прямых переходов и поэтому значение коэффициента поглощения вблизи Eg для непрямозонных структур меньше, чем в случае прямозонных структур.
Вероятность оптических, следовательно, и значение для прямозонных структур
существенным образом зависит от того, каково значение матричного элемента оператора
импульса |
pcv p , как функции квазиимпульса |
(см. 7.10). |
Представим pcv p , как |
||
разложение в ряд Тейлора, вблизи экстремума p0 : |
|
|
|||
|
|
|
p p0 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
pcv p pcv p0 C |
(7.11) |
|||
Если |
pcv p0 0 , переход c v является |
разрешенным, в противном случае – |
переход запрещенный. Аналогом являются разрешенные и запрещенные оптические переходы в свободном атоме.
Если переход разрешенный, можно ограничиться первым слагаемым (7.11) при
интегрировании по |
p в (7.9), |
а если переход запрещенный, приходится учитывать вклад |
||||||||||
второго члена разложения (7.11) и это приводит к значительно меньшим значениям . |
||||||||||||
Выражением (7.9) для |
|
могут быть описаны межзонные оптические переходы в |
||||||||||
полупроводниках при различных условиях. Интерес |
представляют три случая, они |
|||||||||||
определяются |
возможными значениями множителя f Ev f Ec . |
|
|
|||||||||
1) |
f Ev |
1, |
f Ec 0 – образец слабо легирован; |
|
|
|
|
|||||
2) |
f E =1, |
f E =1 |
для E0 E E |
и f |
E =0 |
для E E |
- сильное |
|||||
|
v |
|
c |
|
c |
c |
max |
|
c |
c |
max |
|
|
легирование донорами; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
f Ev f Ec <0 |
– |
сильно |
неравновесная |
система, |
инверсия |
заселенностей. |
Рассмотрим случай 1. В прямозонных системах для разрешенных переходов перепишем (7.9) с учетом первого слагаемого в (7.11):
|
|
|
|
|
|
2e2 |
|
|
p |
p |
|
|
2 |
|
d |
3 p E E |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cm2 |
3 |
|
|
|
|
cv |
0 |
|
|
|
|
c |
v |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(7.12) |
|
|||
|
|
|
|
2e2 2 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pcv p0 |
|
|
|
Eg |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
cm2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Интеграл |
в (7.12) |
вычислен |
с |
учетом |
|
сферического закона |
дисперсии |
для |
зон |
||||||||||||||
E p p 2 |
2m |
|
и |
E E |
g |
|
p p |
2 |
2m и |
введена приведенная |
масса |
|
||||||||||||
c |
|
0 |
c |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
v |
|
|
|
|
|
( |
1 m 1 |
m 1 ). Соотношением (7.12) определяется собственное или фундаментальное |
||||||||||||||||||||||
|
c |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поглощение. Значение |
|
min Eg называют красной границей поглощения (см. Рис.7.3). |
|
Рассмотрим вкратце случай запрещенных переходов (структура прямозонная). Теперь pcv p0 =0 и при интегрировании в (7.9) следует использовать второе слагаемое в (7.11).
Здесь поглощение на несколько порядков меньше, чем для разрешенных переходов, его зависимость от частоты света имеет вид:
1 Eg 32 . (7.13)
Рассмотрим непрямозонные структуры. Как было отмечено выше, оптические переходы между экстремумами непрямозонной структуры имеют комбинированный характер, т.е. они появляются во втором приближении теории возмущений, в них помимо фотона участвует фонон. Коэффициент поглощения в этом случае меньше, чем при прямых
разрешенных переходах, зависимость от частоты имеет вид:
|
|
Eg |
|
phon 2 |
для разрешенных переходов и |
|
|
Eg |
|
phon 3 |
для запрещенных переходов (см. [2]). |
Перейдем к случаю 2. Он интересен тем, что в отличие от (7.12) здесь имеет место сдвиг края собственного поглощения. Причина в вырожденном распределении электронов в зоне проводимости. Этот сдвиг известен как сдвиг Бурштейна (см. Рис. 7.3).
Отрицательный коэффициент поглощения.
Условие инверсии в полупроводниках.
Теперь проанализируем случай 3. При условии |
|
f Ev f Ec <0 |
(7.14) |
коэффициент поглощения отрицательный; свет, |
распространяющийся в такой среде, |
будет усиливаться. Среда, удовлетворяющая условию (7.14), является неравновесной.
Возможное распределение носителей для такой неравновесной среды |
представлено на |
|||||
Рис.7.4а. |
Очевидно, что |
индуцированное поглощение |
при |
энергии |
фотона |
|
min |
|
max невозможно, тогда как индуцированное излучение возможно. |
Такое |
|||
распределение носителей не может быть получено ни при каком |
уровне Ферми, одинаковом |
|||||
для обеих функций f Ev и |
f Ec , как того требует условие равновесия в электронной |
|||||
системе. Но если допустить, |
что эти функции описывают две подсистемы электронов |
|||||
(электронов различных зон), |
для которых равновесие не предполагается, условие (7.14) |
может выполняться естественным образом и оно теперь выражает степень нарушения равновесия между двумя электронными подсистемами. Это достигается введением двух различных квазиуровней Ферми FV и FС , для функций f Ev и f Ec , соответственно.
Это легко сделать на основе известных соотношений между концентрациями носителей в зонах и уровнем Ферми, полученных в предположении равновесия между зонами (Разд.3).
n Nc F1 2 , p Nv F12 i , F Ec kT . (7.15)
Концентрации носителей в зонах, представленные на Рис. 7.4а, соответствуют неравновесному состоянию системы. Таким неравновесным концентрациям носителей сопоставим функции распределения Ферми f E, FС ,V , квазиуровни Ферми которых FС ,V
связаны с неравновесными концентрациями соотношениями типа (7.15):
n Nc F12 C , p Nv F12 V i , С,V FС,V Ec kT . (7.15’)
Итак, для носителей в каждой зоне мы ввели отдельную функцию распределения со
своим значением квазиуровня Ферми FС ,V . Разумеется, введение различных параметров FС ,V
для зон означает отсутствие равновесия между зонами, но в то же время предполагается
равновесие внутри каждой зоны. На Рис 7.4б графически представлены функции f E, FС ,V , соответствующие Рис. 7.4а. Условие (7.14) через квазиуровни можно записать:
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
exp |
E F |
|
kT |
|
1 1 |
|
exp |
E |
F |
|
kT |
|
1 1 |
, |
||||
которое сводится к неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
FС FV |
|
Eg . |
(7.16) |
|
|
|
|
|
Это неравенство называют условием инверсии заселенностей для полупроводников, по аналогии с условием инверсии для оптических сред с дискретным спектром. Отметим, при восстановлении равновесия между электронами двух зон квазиуровни FС ,V , приближаясь друг к другу сливаются в единый уровень Ферми. Система, удовлетворяющая условию (7.16),
может быть использована в качестве активной среды для генераторов когерентного оптического излучения. Лазеры, работающие на полупроводниках (полупроводниковые лазеры), были предложены в начале 60 прошлого столетия. В настоящее время они находят широкое применение благодаря их уникальным свойствам.
Очевидно, выполнение условия (7.16) можно себе представить как расщепление уровня Ферми F , характеризующего равновесие в электронной системе полупроводника, на два
квазиуровня с заданным интервалом между ними под действием внешнего воздействия на систему – накачки. Наиболее простым механизмом достижения условия (7.16) оказалось пропускание тока через p n переход при прямом смещении на нем. Лазеры, работающие на этом принципе, называют инжекционными, поскольку расщепление квазиуровней,
необходимое для получения инверсии заселенностей, достигается инжекцией носителей через p n переход (см. Рис.7.5). На этом рисунке выделен слой p n перехода толщиной
l , где выполняется условие (7.16). Напомним, что на явлении электролюминесценции на p n переходах основан также принцип действия светодиодов. Следует сказать, что в
качестве рабочего вещества для инжекционных лазеров, как и для светодиодов, наиболее эффективно используются полупроводники с прямой зонной структурой с высоким квантовым выходом электролюминесценции. Рабочие характеристики инжекционных лазеров удалось значительно улучшить благодаря использованию гетеропереходов [2,5] и
двойных гетероструктур (Ж.И.Алферов, Х. Крѐмер, Дж.Килби, Нобелевская премия по физике 2000 г.).
r
Ec k '
Ev |
r |
|
|
|
k |
|
|
|
a) |
б) |
в) |
Рис. 7.1
а) |
E k |
|
б) |
E k |
|
|
|
||
|
|
|
c |
|
|
c |
|
|
|
Прямой |
Eg |
|
Прямой |
Eg |
|
(вертикальный) |
|||
переход |
k |
|||
|
|
переход |
k |
|
|
v |
|
v |
Непрямой |
|
|
|
|
(комбинированный) |
|
|
|
|
переход |
Рис. 7.2
h
|
|
|
сдвиг |
|
|
|
Бурштейна |
0 |
Eg |
Emax |
h |
Рис. 7.3
а) |
б) |
g (E)
f (E, Fc )
0 |
1 |
f (E, Fv ) |
g p (E) |
|
Рис. 7.4
а) |
б) |
Рис. 7.5