Fiz_Polupr_dlya_stud / ФТТ_Садыков_2012 / FTT_Sadykov_4

4. Явления переноса.

Функция распределения. Кинетическое уравнение Больцмана.

А. Представим символом dn число электронов, которые находятся в бесконечно малом объеме d 3r и в то же время их волновые векторы заключены в пределах элемента k -

Весовая функция в этом соотношении, f k , r ,t , называется функцией распределения. Она выражает зависимость плотности распределения электронов в элементе шестимерного объема d 3k d 3r от координат, квазиволного вектора электронов и времени.

Зная эту функцию и кинематические, динамические параметры электрона в точке ( r , k ),

можно вычислить макроскопические характеристики электронной системы. Например,

электронная концентрация и проводимость определяются интегрированием по зоне Бриллюэна ( BZ ):

.

В общем случае функция распределения характеризует неравновесное состояние электронной системы, которое возникает как реакция системы на внешние поля. Если

прошло достаточно много времени с момента выключения внешних полей,

переходит в равновесную функцию распределения. Равновесная функция не зависит от времени и она может быть представлена как функция энергии (функция распределения Ферми, с энергией Ферми). Например, для пространственно однородной системы имеем:

Б. Функция распределения удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана.

Обсудим вкратце, что это уравнение выражает. Изменение числа электронов со временем в элементе шестимерного объема (4.1) пропорционально f t . С другой стороны, это изменение происходит благодаря различным процессам. 1. Число электронов может

Это выражение может быть упрощено, с учетом свойства вероятности квантово-

механических переходов, W kk ' W k 'k :

Уравнение (4.3) может быть также переписано как равенство полной производной от функции распределения по времени интегралу столкновений:

Кинетическое уравнение Больцмана (4.3) широко используется для вычисления отклика электронной системы на внешние поля. Методом кинетического уравнения вычисляются потоки заряда и энергии (электрический ток и теплопроводность), которые возникают в электрическом поле и в поле градиента температуры, соответственно. Для этого сначала находят функцию распределения, решая уравнение Больцмана для заданных полей, которая далее используется как весовая функция при суммировании элементарных токов заряда и энергии.

В. Уравнение (4.3) является интегро-дифференциальным уравнением, по этой причине получение его аналитических решений является весьма сложной математической задачей. Во многих случаях допустимо использование приближенного уравнения Больцмана вместо

(4.3). Это достигается заменой интеграла столкновений релаксационным слагаемым. Вкратце обоснуем эту замену. Мы уже отметили выше, что при выключенных внешних полях функция распределения стремится к равновесной функции распределения. Формально приближение к равновесию описывается уравнением (4.3), которое при выключенных полях имеет вид:

С другой стороны, приближение системы к равновесию можно описать феноменологическим

уравнением для функции распределения, которое получается заменой интеграла J в правой

действительно описывает установление равновесия, т.е. превращение f k ,0 в f0 k при

достаточно больших временах t . Замена интеграла столкновений релаксационным слагаемым, конечно, основана на понимании того, что именно столкновения обеспечивают возвращение системы к равновесию. Такую же роль играют столкновения и в присутствии внешних полей в уравнении (4.3) и, следовательно, интеграл столкновений в (4.3) может быть заменен релаксационным слагаемым. Полученное в результате такой замены уравнение более простое по структуре (оно дифференциальное). Его называют уравнением Больцмана в приближении времени релаксации:

Электронная проводимость в полупроводниках.

Проиллюстрируем, как используется метод кинетического уравнения Больцмана при вычислении проводимости (в постоянном электрическом поле). В этом случае уравнение Больцмана в приближении времени релаксации (4.7) выглядит так:

f1 k v k Fext f0 kT .

После того как найдена функция распределения, плотность тока вычисляется путем суммирования вкладов всех электронов e v k f k в зоне Бриллюэна:

Здесь учтено, что ток, вычисленный с использованием равновесной функции распределения f0 k , равен нулю. Это понятно с физической точки зрения, это легко обосновать и формально. Поскольку закон дисперсии – четная функция волнового вектора, f0 k

является также четной функцией волнового вектора, с другой стороны, скорость, как первая производная от четной функции, является нечетной функцией. Следовательно, интеграл от нечетной функции по зоне Бриллюэна, по объему с симметричными пределами, равен нулю.

Подставив в (4.10) f1 k получим:

jn e2 4 3kT d 3k f0 k v k k Eext v k .

Этот пример является иллюстрацией метода кинетических уравнений для расчета явлений переноса (для электронных полупроводников). В данном случае мы естественным образом получили подвижность n , которая включает в себя как множитель время свободного пробега n , усредненное по приведенной энергии электронов ( EkT ).

Все, что говорилось выше об электронном токе, может быть с небольшими

изменениями перенесено на случай дырочного тока. Полный ток в полупроводниках представляет собой сумму электронного и дырочного слагаемых.

поверхности постоянной энергии SE в k -пространстве и по нормальной к этой поверхности

скорость электрона в точке k по абсолютной величине, имеем:

Очевидно, равновесная функция распределения f0 k представляет собой сферу в k -

пространстве с радиусом Ферми kF , состояния внутри которой заполнены с вероятностью

единица, а состояния вне сферы свободны. Как было показано выше, электроны внутри такой сферы не дают вклада в электрический ток. С другой стороны, стационарная (в

постоянном поле Eext ) функция распределения f k также может быть представлена сферой, центр которой смещен на величину Eext e (см. (4.18)). Отличный от нуля ток в

этом случае обусловлен разностью f1 k f0 k Eext e f0 k , т.е. «разностью» двух сфер (см. Рис. 4.1а). Как видно из рисунка, f1 k отлична от нуля только вблизи

поверхности Ферми, что подтверждается выражением для проводимости (4.17).

Аналогичным образом может быть представлено изменение функции распределения как функции энергии (см. Рис.4.1б):